Möbiusband homöomorph zu verklebtem Zylindermantel

26.05.2020, 09:54	silenceofthreeparts	Auf diesen Beitrag antworten »
Möbiusband homöomorph zu verklebtem Zylindermantel Ich habe folgende Aufgabe: Man nehme einen Zylindermantel $\begin{eqnarray} X\ {=}\ S^1\times I\subset\mathbb{C}\times\mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit dem Einheitsintervall I und verklebe an einem der beiden Ränder jeden Punkt mit seinem gegenüberliegenden, d.h. betrachte den Raum X/~ für die Relation (z,1)~(-z,1) für alle z $\begin{eqnarray} \in S^1 \end{eqnarray}$ . Zeige, dass dieser Raum homöomorph zum Möbiusband ist. Das Möbisuband haben wir mit der Relation (0,t)~(1,1-t) für alle t $\begin{eqnarray} \in I \end{eqnarray}$ definiert Ich habe nun alleine schon Probleme, mir den Raum vorzustellen. Ich weiß nicht, wie ein Homöomorphismus f zwischen beiden aussehen sollte. Ich dachte mir, dass ich den nicht-verklebten Rand von X/~ auf den Rand des Möbiusbandes folgendermaßen abbilden könnte: Sei z = a + bi $\begin{eqnarray} f\overline{(z,0)}\ {=}\ \overline{(0,5\ {+}\ 0,5\cdot a,\ 0)} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a,b\ge0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f\overline{(z,0)}\ {=}\ \overline{(-0,5\cdot a,\ 0)} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a<0,\ b\ge0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f\overline{(z,0)}\ {=}\ \overline{(0,5\ {-}\ 0,5\cdot a,\ 1)} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a\le 0,\ b<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f\overline{(z,0)}\ {=}\ \overline{(0,5\cdot a,\ 1)} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a>0,\ b<0 \end{eqnarray}$ Denn wenn ich mich nicht vertan habe, kann ich so auch eine Umkehrabbildung finden, da ich weiß, ob b positiv oder negativ ist, und b durch $\begin{eqnarray} sin(cos^{-1}(a)) \end{eqnarray}$ eindeutig festgelegt ist. Nun weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen soll und ob das überhaupt richtig ist. Kann ich damit arbeiten und den Rest des Raumes so auf das Möbiusband abbilden, dass f ein Homöomorphismus ist? Oder hat jemand andere Anregungen, wie ich die Aufgabe lösen könnte? Vielen Dank schon mal Ich glaube, ich habe ein Video auf YouTube gefunden, welches genau den Homöomorphismus beschreibt, den ich suche. Da ich noch nicht genügend Beiträge habe und deswegen keine Links posten kann, hier mal der Titel: Moebius strip and Cross-cap Ich werde mal versuchen, mein f anhand dessen weiter zu definieren. Nur muss ich dann natürlich noch zeigen, dass die (Umkehr-)Abbildung stetig ist. Da weiß ich noch nicht, wie. Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

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