Ein Operator heißt linear, wenn...

26.05.2020, 14:49

dsyleixa

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Ein Operator heißt linear, wenn...

halo,
ich verstehe nicht den (anschaulichen) Sinn dieser Definition:

Sei |q> ein Ket Vektor (aus komplexen Zahlen, oE auch reell)

ein Operator A heißt linear, wenn
$\begin{eqnarray*} A ( c1|q> + c2|q> ) = c1A|q> + c2A|q> \end{eqnarray*}$

was c1 und c2 sind, wird nicht definiert, höchstwahrscheinlich ebenfalls komplexe Zahlen (oE auch reell)
wie ist diese Definition anschaulich zu verstehen?
Es sieht ja aus wie eine Art Distributivgesetz, aber was hat das mit "linear" zu tun?

26.05.2020, 15:33

Finn_

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Das ist ein Grundbegriff der linearen Algebra. Sind $\begin{eqnarray*} V,W \end{eqnarray*}$ Vektorräume über einem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , z.B. $\begin{eqnarray*} K=\mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W=\mathbb R \end{eqnarray*}$ , heißt eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f\colon V\to W \end{eqnarray*}$ linear, falls
$\begin{eqnarray*} \forall v,w\in V\colon\; f(v+w) = f(v)+f(w) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \forall \lambda\in K, v\in V\colon\; f(\lambda v) = \lambda f(v). \end{eqnarray*}$

26.05.2020, 15:33

mYthos

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Ja, es ist ein Distributivgesetz, angewandt auf eine Vektorsumme.
Die Summe in der Klammer bestimmt eine lineare Abhängigkeit des Resultats von den beiden Vektoren.
Der Multiplikator A verändert diese Summe exakt so, wie wenn die einzelnen Vektoren damit multipliziert werden.

Die Summe der Produkte beinhaltet denselben Proportionalitätsfaktor wie die einzelnen Produkte selbst.

Ergänzender Auszug aus Wiki:

=== Linearer Operator ===

Es seien X und Y reelle oder komplexe Vektorräume. Eine Abbildung T von X nach Y heißt linearer Operator,
wenn für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb {C}) \end{eqnarray*}$ die folgenden Bedingungen gelten:

T ist homogen: $\begin{eqnarray*} T(\lambda x)=\lambda T(x) \end{eqnarray*}$
T ist additiv: $\begin{eqnarray*} T (x + y) = T(x) + T(y) \end{eqnarray*}$
=========================

mY+

26.05.2020, 15:52

dsyleixa

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ok, dankeschön!

aus der L.A. kannte ich das noch nicht ("das kommt erst später"), habe aber gerade mal nachgeschlagen und etwas über Phi als Gruppenmorphismus gefunden: Phi heißt linear, wenn gilt
Phi(l*n) = l*Phi(n)

sieht ähnlich aus, kann es aber formal und inhaltlich leider nicht recht auf die Definition mit den Bra-kets übertragen.

Die Aussage
"Die Summe der Produkte beinhaltet denselben Proportionalitätsfaktor wie die einzelnen Produkte selbst."
verstehe ich schon;
warum das gerade als "linear" bezeichnet wird, allerdings immer noch nicht intuitiv anschaulich, hat sicher etwas mit der obigen Morphismus-Definition als "linear" zu tun (was mir anschaulich aber ebenfalls noch nicht verständlich ist).

26.05.2020, 16:24

Finn_

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Es gibt da so eine Videoreihe über die Grundlagen der linearen Algebra, da werden lineare Abbildungen zwischen Koordinatenräumen erläutert: Linear transformations and matrices | Essence of linear algebra, chapter 3.

26.05.2020, 17:37

dsyleixa

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danke, aber englische mathematische Erklärungen verstehe ich nicht - in deutsch ist es schon schwer genug... Augenzwinkern

Augenzwinkern

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26.05.2020, 18:13

dsyleixa

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PS,
irgendwie ist es mir auch noch nicht ersichtlich, wieso im Vergleich zur Morphismus-Definition oben bei
A(c1|q>+c2|q>)=c1A|q>+c2A|q>
der Operator A eine Abbildung von einem in einen anderen Vektorraum sein soll, ich dachte, es wäre eine Funktion, die auf Vektoren desselben Vektorraums angewendet wird... (?)

26.05.2020, 19:33

Finn_

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Eine lineare Abbildung kann man u.a. als Verallgemeinerung der Multiplikation mit einer Zahl sehen. Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor kann diesen stauchen oder strecken, also skalieren. Multiplikation mit einer negativen Zahl führt zusätzlich zur Spiegelung. Eine lineare Abbildung erlaubt daneben z.B. auch die Drehung von Vektoren.

Lineare Abbildungen zwischen unterschiedlichen Vektorräumen sind z.B. nützlich, wenn man einen Vektorraum in einen anderen einbetten will. Oder wenn man einen Vektorraum auf einen anderen projizieren möchte.

26.05.2020, 19:43

dsyleixa

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ok, das mit dem Strecken/Stauchen leuchtet mir ein.
Würde man dann auch sagen, für eine Menge A mit den Verknüpfungen +,* mit a,b,c aus A
heißt A linear, wenn gilt
a*(b+c) = a*b + a*c
?

26.05.2020, 21:40

Finn_

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Jeder Körper bildet einen Vektorraum über sich selbst. Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein Körper ist und $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ beliebig, dann ist $\begin{eqnarray*} f\colon A\to A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x):=ax \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung.

26.05.2020, 22:29

Elvis

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In einem beliebigen Ring gilt auch das Distributivgesetz a*(b+c)=a*b+a*c, aber diese Abbildung f(x)=a*x ist nicht linear, wenn der Ring kein Vektorraum ist.

26.05.2020, 22:34

dsyleixa

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Zitat:

Original von Finn_
Jeder Körper bildet einen Vektorraum über sich selbst. Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein Körper ist und $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ beliebig, dann ist $\begin{eqnarray*} f\colon A\to A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x):=ax \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung.

danke für deine Mühe, mir das zu erklären.
dass f(x) =a*x eine lineare Abbildung ist, verstehe ich.
Ich verstehe nicht, was die obige Distributivregel für den Operator A mit einer Definition für "linear" zu tun hat.
Irgendwie kann ich da den gedanklichen Bogen nicht spannen.

edit:
das hat sich jetzt mit Elvis' Post überschnitten.
Aber nun ist es NOCH unklarer als vorher.

Wenn ich den Körper Q habe mit +,* und eine Abbildung f: Q -> Q,
dann ist doch auch für a, x aus Q
f(x) = a*x
eine lineare Abbildung, dazu brauche ich doch keinen Vektorraum...?

aber zurück zum Problem, was die obige Distributivregel für den Operator A
A(c1|q>+c2|q>)=c1A|q>+c2A|q>
mit einer Definition für "linear" zu tun hat.

26.05.2020, 22:50

mYthos

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Die Antwort steht m.E. in der ersten Antwort von Finn_ und fast gleichlautend in meinem Erstpost und in dem dort angegebenen Zitat aus Wikipedia.

mY+

26.05.2020, 22:54

dsyleixa

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Zitat:

Original von mYthos
Die Antwort steht m.E. in der ersten Antwort von Finn_ und fast gleichlautend in meinem Erstpost und in dem dort angegebenen Zitat aus Wikipedia.

mY+

das sah und sehe ich noch nicht, ich verstehe auch nicht, was
f(v+w)=f(v)+f(w)
ANSCHAULICH mit linear zu tun hat.
Eigentlich wird es ja sogar "nur" als "additiv" bezeichnet, und nach der Multiplikation mit dem Skalar war ja nicht gefragt.

Im TOP heißt es aber ja ausschließlich
"ein Operator A heißt linear, wenn
A(c1|q>+c2|q>)=c1A|q>+c2A|q>"

26.05.2020, 23:05

Luftikus

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Zitat:

Original von dsyleixa

aber zurück zum Problem, was die obige Distributivregel für den Operator A
A(c1|q>+c2|q>)=c1A|q>+c2A|q>
mit einer Definition für "linear" zu tun hat.

A ist eine lineare Abbildung (zB. hermitescher Operator).
Eine lineare Abbildung hat denn Sinn, die lineare Struktur der Vektorräume zu berücksichtigen, d.h. eine Linearkombination des einen wird auf eine Linearkombination des anderen Vektorraums abgebildet. Die lineare Struktur ermöglicht also "Superpositionen" von Lösungen.
Formal ist das keine Distributivregel, da "+" und "*" links und rechts sich auf unterschiedliche Räume beziehen.

26.05.2020, 23:11

Finn_

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Es handelt sich zunächst nur um eine andere Sprech- und Schreibweise. Die Definition bekommt dann die folgende Form:

Seien $\begin{eqnarray*} V,W \end{eqnarray*}$ Vektorräume über einem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , wobei auch $\begin{eqnarray*} V=W \end{eqnarray*}$ sein darf. Ein Operator $\begin{eqnarray*} A\colon V\to W \end{eqnarray*}$ heißt linear, falls
$\begin{eqnarray*} \forall |v\rangle,|w\rangle\in V\colon\; A(|v\rangle +|w\rangle) = A|v\rangle + A|w\rangle \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \forall c\in K\;\forall|v\rangle\in V\colon\; A(c|v\rangle) = c A|v\rangle. \end{eqnarray*}$

Ein Operator $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist genau dann linear, wenn
$\begin{eqnarray*} \forall c_1,c_2\in K\; \forall|v\rangle,|w\rangle\in V\colon\; A(c_1|v\rangle+c_2|w\rangle) = c_1A|v\rangle + c_2A|w\rangle. \end{eqnarray*}$

Wenn du wissen möchtest was eine lineare Abbildung anschaulich macht, schau dir das Video on 3Blue1Brown an, da sind manuell geschriebene deutsche Untertitel verfügbar. Man kann auch zurückspulen. Und besser als eine monotone Vorlesung mit unlesbarem Schrieb ist es allemal.

26.05.2020, 23:17

Leopold

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@ dsyleixa

Versuche einmal, alle Funktionen $\begin{align*} f: \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{align*}$ zu bestimmen, für die $\begin{align*} f(x+y) = f(x) + f(y) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x,y \in \mathbb{R} \end{align*}$ gilt. Wenn du zusätzlich die Stetigkeit von $\begin{align*} f \end{align*}$ voraussetzt, wirst du automatisch auf die Funktionen $\begin{align*} f: x \mapsto ax \end{align*}$ mit konstantem $\begin{align*} a \in \mathbb{R} \end{align*}$ geführt, also auf die Proportionalitäten (graphisch also spezielle Geraden; lat. linea ~ Gerade). Daß man in der Analysis auch $\begin{align*} f(x) = ax + b \end{align*}$ als linear bezeichnet, paßt nicht ganz zum sonstigen Verständnis dieses Begriffs. Besser wäre es, man würde nur die Proportionalitäten als linear bezeichnen und die $\begin{align*} f(x) = ax + b \end{align*}$ als affin oder sonstwie. Aber da das nun einmal so eingeführt ist, müssen wir mit dieser Inkonsequenz leben, daß also "linear" in der linearen Algebra dem "proportional" in der Analysis entspricht, wogegen das "linear" in der Analysis das "affin" in der linearen Algebra meint. Und jetzt bin ich selbst schon ganz durcheinander ...

26.05.2020, 23:25

mYthos

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Vielleicht sollte erst geklärt werden, was c1|q> und c2|q> eigentlich bedeuten sollen, das erschließt sich mir nicht.
Der Operator A bezeichnet eine Funktion bzw. Abbildung, gleichbedeutend mit T im Wiki-Artikel.

Bei
f(v+w)=f(v)+f(w):

Der Operator f teilt sich der Summe so mit, dass das Ergebnis gleichbedeutend ist, wie wenn er einzeln auf die Summanden angewandt wird.
Dann ist f eine lineare Abbildung. Das kann natürlich auch die Multiplikation mit einem Skalar sein.

mY+

27.05.2020, 09:37

dsyleixa

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Zitat:

Original von mYthos
Vielleicht sollte erst geklärt werden, was c1|q> und c2|q> eigentlich bedeuten sollen, das erschließt sich mir nicht.
mY+

Ich lese |q> als (senkrechten) Spaltenvektor (q1,....,qn) aus komplexen Zahlen qi,
und
c1|q> == c1*|q>
lese ich als Produkt einer komplexen skalaren Größe (c1) mit diesem Vektor, also (senkrecht) (c1*q1,...,c1*qn)

27.05.2020, 11:05

dsyleixa

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PS
ein Operator A kann z.B. sein:
ein Skalar
eine Matrize (Einheitsoperator= Einheitsmatrix)
ein Gradient
ein Impulsoperator
ein Laplaceoperator

27.05.2020, 19:44

dsyleixa

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keiner mehr eine Erklärungs-Idee, was das Ausklammern
A(c1|q>+c2|q>)=c1A|q>+c2A|q>
anschaulich mit "linear" zu tun hat?
In der Analysis
f(x) = ax + b
dagegen ist ja sonnenklar!

27.05.2020, 19:49

Elvis

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Zitat:

Original von Finn_
Definition:

Seien $\begin{eqnarray*} V,W \end{eqnarray*}$ Vektorräume über einem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , wobei auch $\begin{eqnarray*} V=W \end{eqnarray*}$ sein darf. Ein Operator $\begin{eqnarray*} A\colon V\to W \end{eqnarray*}$ heißt linear, falls
$\begin{eqnarray*} \forall |v\rangle,|w\rangle\in V\colon\; A(|v\rangle +|w\rangle) = A|v\rangle + A|w\rangle \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \forall c\in K\;\forall|v\rangle\in V\colon\; A(c|v\rangle) = c A|v\rangle. \end{eqnarray*}$

Ein Operator $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist genau dann linear, wenn
$\begin{eqnarray*} \forall c_1,c_2\in K\; \forall|v\rangle,|w\rangle\in V\colon\; A(c_1|v\rangle+c_2|w\rangle) = c_1A|v\rangle + c_2A|w\rangle. \end{eqnarray*}$

Man kann nicht besser formulieren, was eine lineare Abbildung ist, als Finn_ es hier getan hat. Vektorräume sind nicht zum anschauen da sondern zum rechnen. Es ist völlig sinnlos, einen unendlichdimensionalen Hilbertraum für einen anschaulichen Raum zu halten.

Wenn du dich mit Quantentheorie beschäftigen möchtest, kann ich dir ein Buch empfehlen, das mir den Einstieg möglich gemacht hat. Es entspricht aber nicht deiner Anforderung nach einem Buch für Dummies, deswegen musst du noch einmal nachfragen bevor ich es suche und die bibliografischen Angaben mache.

27.05.2020, 21:17

dsyleixa

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es würde mir reichen, wenn ich das mit dem "linear" für den R² oder den R³ verstehen würde, und ebenso anschaulich unklar sind mir auch die Definitionen von dir oder Mythos oder Finn.

"Meine" Definition oben stammt übrigens aus dem Buch "Quantenmechanik für Dummies", und ich versuche schon, auch die "normale" L.A. parallel zu lesen, weil dort oft auch auf sie Bezug genommen wird Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wohlgemerkt:
als reine Definition muss man sie sicher nehmen wie sie eben definiert ist.
Aber auch in der Analysis ist ja "linear" definiert,
f(x)=ax+b
einfach anschaulich verständlich als Funktionswerte auf einer "linearen Linie" = Gerade in einem Vektorraum (z.B. R²).
Die Definition der L.A. aber ist mir nicht anschaulich klar.
Wer aber dieses Ausklammern als "linear" definiert hat, muss sich doch irgendwas dabei gedacht haben, sonst hätte er die Eigenschaft
A(c1|q>+c2|q>)=c1A|q>+c2A|q>
ja auch als distributiv oder rot oder grün definieren können.

(was eine schrecklich kleine Schrift hier im Editor... unglücklich

unglücklich

)

27.05.2020, 21:48

Elvis

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Die lineare Algebra heißt linear, weil sie sich mit Vektorräumen beschäftigt, die auch lineare Räume heißen. Die linearen Abbildungen zwischen linearen Räumen in der linearen Algebra heißen lineare Abbildungen, weil Kern und Bild einer linearen Abbildung ein linearer Teilraum des linearen Definitionsraumes bzw. des linearen Zielraumes ist. Linear ist nichts als ein Wort, das die Haupteigenschaften von Vektorraum und Vektorraumhomomorphismus bezeichnet. Mit geometrischen Begriffen wie Gerade hat der algebraische Begriff linear nur noch historisch etwas zu tun, mit der Anschauung absolut nichts.

27.05.2020, 22:12

dsyleixa

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ok, wenn das so ist - schade... ich hätte mir gern etwas bildlich unter "linear" vorstellen mögen...

27.05.2020, 22:15

Finn_

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Diese geometrische Vorstellung von Linearität ist gewissermaßen richtig. Eine lineare bzw. affine Abbildung zwischen reellen Koordinatenräumen ist wie eine lineare Funktion ungekrümmt. Eine Charakterisierung dafür (Differenzierbarkeit vorausgesetzt) ist das Verschwinden der zweiten Ableitung bzw. die Konstanz der ersten Ableitungsfunktion.

Für eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m \end{eqnarray*}$ gilt aufgrund der definierenden Eigenschaft die Rechnung

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x_k}f(\mathbf x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(\mathbf x+h\mathbf e_k)-f(\mathbf x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(\mathbf x+h\mathbf e_k-\mathbf x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{hf(\mathbf e_k)}{h} = f(\mathbf e_k). \end{eqnarray*}$

Sämtliche partielle Ableitungen sind konstant, somit auch die totale Ableitung.

27.05.2020, 22:18

dsyleixa

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also DAS ist jetzt wirklich ein interessanter Gesichtspunkt...! 8-)

28.05.2020, 09:12

Elvis

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Interessant ist auch, dass praktisch alle Funktionenraeume Vektorräume sind, weil man Funktionen punktweise addieren und skalar multiplizieren kann. $\begin{eqnarray*} (f+g) (x) =f(x) +g(x), (a\cdot f) (x) =a\cdot (f(x)) \end{eqnarray*}$ .
Für differenzierbare Funktionen bzw. integrierbare Funktionen sind dann alle Differentialoperatoren bzw. Integraloperatoren lineare Abbildungen.
$\begin{eqnarray*} D(af+bg) =aD(f) +bD(g), \int (af+bg) d\mu=a\int f d\mu+b\int gd\mu \end{eqnarray*}$ .
Das weiß jeder von der Schule her, zumindest für reelle Funktionen, also kann man sich das auch gut vorstellen, dass es für beliebige Funktionen gilt. Diese linearen Abbildungen werden in der Quantentheorie reichlich benutzt.

28.05.2020, 10:27

dsyleixa

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stimmt, langsam rundet sich das Bild...
danke an euch!

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