Integral = Dreifach-Integral

27.05.2020, 00:39

Dopap

Integral = Dreifach-Integral

gibt es für den folgendem Beginn eines Integrals irgendwelche Hinweise zum Vorgehen?

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \frac{ \ln(1+x)\ln(1+1/x^2)}{x} \dd x \,\, \stackrel {?}{=} \int_0^1\int_0^1\int_0^\infty \underbrace{ \frac{2z}{(1+xy)(z^2+x^2)}}_{\text{Partialbruchzerlegung}}\,\, \dd x \dd y \dd z \end{eqnarray*}$

27.05.2020, 07:46

Leopold

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Partialbruchzerlegung braucht man hier nicht, man muß nur die Integrationsreihenfolge vertauschen:

$\begin{align*} \int \limits_0^1 \int \limits_0^1 \int \limits_0^{\infty} \frac{2z}{\left( 1+xy \right) \left( z^2 + x^2 \right)} ~ \dd x ~ \dd y ~ \dd z = \int \limits_0^{\infty} \int \limits_0^1 \frac{1}{1 + xy} \int \limits_0^1 \frac{2z}{ z^2 + x^2 } ~ \dd z ~ \dd y ~ \dd x \end{align*}$

$\begin{align*} = \int \limits_0^{\infty} \int \limits_0^1 \frac{1}{1 + xy} \ln \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) ~ \dd y ~ \dd x = \int \limits_0^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) \int \limits_0^1 \frac{1}{1 + xy}~ \dd y ~ \dd x \end{align*}$

Und so weiter ...

27.05.2020, 10:47

HAL 9000

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Der Kommentar "Partialbruchzerlegung" bezieht sich wohl nicht so sehr auf die bis dahin vorgenommene Umformung $\begin{eqnarray*} \stackrel{?}{=} \end{eqnarray*}$ , sondern eher darauf, wie es mit dem rechten Integral weitergehen soll. Augenzwinkern

27.05.2020, 11:30

Dopap

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@HAL: richtig, so soll es weitergehen...

schöne Fortsetzung ohne PBZ des Integrals im zweiten Schritt.

Aber,

ist der erste Schritt offensichtlich, drängt er sich geradezu auf, ist er für die Galerie, oder könnte man auch einen anderen Weg einschlagen?

27.05.2020, 11:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
ist der erste Schritt offensichtlich, drängt er sich geradezu auf

Nun, zumindest weiß man mit dem Produkt rationaler Funktionen integrationsmäßig eher was anzufangen als mit dem Produkt zweier Logarithmen.

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Integral = Dreifach-Integral

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