Funktion mit Gleichungsnebenbedingung - Lagrange-Funktion + Jacobi-Matrix

27.05.2020, 09:44

Der_Apfel

Funktion mit Gleichungsnebenbedingung - Lagrange-Funktion + Jacobi-Matrix

Gegeben ist eine Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x_1, x_2) = 2x_1 + x_2 \end{eqnarray*}$ mit Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} g(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Man soll die kritischen Punkte bestimmen und dann entscheiden, um welche Art von Punkt es sich handelt.

Also hab ich die Lagrange-Funktion aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} L(x, \mu) = 2x_1 + x_2 + \mu(x_1^2 + x_2^2 - 1) \end{eqnarray*}$

und nach x abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} \nabla L = \begin{bmatrix}2 + 2x_1\mu\\1 + 2x_2\mu\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann nach x auflöse:

$\begin{eqnarray*} x_1 = -\frac{1}{\mu} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = - \frac{1}{2\mu} \end{eqnarray*}$

In die Nebenbedingung einsetzen:

$\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{\mu})^2 + (-\frac{1}{2\mu})^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{\mu^2} + \frac{1}{4\mu^2} = 1\Leftrightarrow \frac{5}{4\mu^2} = 1 \Leftrightarrow \mu_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{5}{4}} \end{eqnarray*}$

Also erhalte ich die kritischen Punkte:

$\begin{eqnarray*} x^{(1)} = \begin{bmatrix}-\frac{2\sqrt{5}}{5}\\-\frac{\sqrt{5}}{5}\end{bmatrix}, x^{(2)}=\begin{bmatrix}\frac{2\sqrt{5}}{5}\\\frac{\sqrt{5}}{5}\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur verstehe ich jetzt nicht ganz wie ich überprüfe um welche Art von Punkt es sich handelt.

Wir haben die Jacobi-Matrix so definiert (falls ich das aus meinen Folien richtig entschlüssel):

$\begin{eqnarray*} \nabla_{xx}L(x_1, x_2, \mu) = \begin{bmatrix}2\mu & 0\\0 & 2\mu\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

d.h. ich erhalte

$\begin{eqnarray*} \nabla_{xx}L(x_1, x_2, \mu) = \begin{bmatrix}\sqrt{5} & 0 \\ 0 & \sqrt{5} \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \nabla_{xx}L(x_1, x_2, \mu) = \begin{bmatrix}-\sqrt{5} & 0 \\ 0 & -\sqrt{5} \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir haben dann im Zusammenhang mit den KKT-Bedingungen die Linear Independent Constraint Qualification definiert nach dem die Gradienten aller Nebenbedingungen linear unabhängig sein müssen. Das Problem hab ich hier ja nicht da ich nur eine Nebenbedingung habe oder?

$\begin{eqnarray*} \nabla g(x_1, x_2) = \begin{bmatrix}2x_1\\2x_2\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \nabla g(x^{(2)}) = \begin{bmatrix}-\frac{4\sqrt{5}}{5}\\-\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \nabla g(x^{(2)}) = \begin{bmatrix}\frac{4\sqrt{5}}{5}\\\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann gibts da anscheinend noch die notwendige Bedingung $\begin{eqnarray*} d^T\nabla_{xx}L(x)d \geq 0 \end{eqnarray*}$ wobei ich nicht weiß, was genau $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ist.

Wie bestimme ich nun ob es sich bei den kritischen Punkten um minimum oder maximum handelt?

Edit: Ich glaube, es gilt $\begin{eqnarray*} \mu \geq 0 \end{eqnarray*}$ d.h. es gibt eigentlich nur einen kritischen Punkt? verwirrt

27.05.2020, 12:58

Huggy

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RE: Funktion mit Gleichungsnebenbedingung - Lagrange-Funktion + Jacobi-Matrix
Diese Aufgabe würde man nicht unbedingt mit Lagrangemultiplikatoren angehen. Aber auch wenn man das machen will oder muss, ist es nützlich, sich vorab zu überlegen, wie das Ergebnis ausschauen muss. Man sieht leicht, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf dem durch die Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ definierten Kreis genau ein Maximum und genau ein Minimum hat.

Die kritischen Punkte hast du richtig bestimmt.

Zitat:

Original von Der_Apfel
Nur verstehe ich jetzt nicht ganz wie ich überprüfe um welche Art von Punkt es sich handelt.

Wir haben die Jacobi-Matrix so definiert (falls ich das aus meinen Folien richtig entschlüssel):

$\begin{eqnarray*} \nabla_{xx}L(x_1, x_2, \mu) = \begin{bmatrix}2\mu & 0\\0 & 2\mu\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Da scheinst du etwas missverstanden zu haben. Bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen in Form von Gleichungen ergeben sich die hinreichenden Bedingungen für lokale Extrema aus der geränderten Hessematrix.

https://de.wikipedia.org/wiki/Geränderte_Hesse-Matrix

Das ist hier eine 3x3-Matrix. Generell sind die auf der geränderten Hessematrix beruhenden Kriterien etwas komplizierter als bei der normalen Hessematrix. Aber bei nur 2 Variablen ist das Kriterium sehr einfach. Siehe dazu das Beispiel in dem Link.

Zitat:

Wir haben dann im Zusammenhang mit den KKT-Bedingungen ...

Mit KKT kenne ich mich nicht gut aus. Das wird aber nach meinem Verständnis nur benötigt, wenn man auch Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen hat. Das ist bei deiner Aufgabe nicht der Fall.

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