Nullstellensuche mit Banachschem Fixpunktsatz

27.05.2020, 14:40

Patrick1990

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Nullstellensuche mit Banachschem Fixpunktsatz

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe vorliegen, bei der mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes die Nullstelle approximiert werden soll.
Wie geht man dabei vor?
Mir fehlt dazu leider jeglicher Ansatz.

Die Funktion lautet:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3+3x-2 \end{eqnarray*}$

27.05.2020, 15:50

Elvis

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Das ist keine Funktion, eine Funktion braucht immer einen Definitionsbereich. Wie soll man sonst die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes prüfen?

27.05.2020, 16:40

Patrick1990

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In der Aufgabenstellung steht:
"Betrachten Sie die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^3+3x-2=0 \end{eqnarray*}$ .
Finden Sie eine Approximation der Lösung mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes."

Das wars smile

smile

27.05.2020, 18:03

Elvis

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Das ist eine sinnvolle Aufgabe, es geht um eine Gleichung und nicht um eine Funktion. Man kann daraus diese Fixpunktgleichung machen $\begin{eqnarray*} x^3+4x-2=x \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} \varphi(x)=x^3+4x-2 \end{eqnarray*}$ eine Kontraktion wäre, dann sollte $\begin{eqnarray*} lim_{n \to\infty}\varphi(x_n) \end{eqnarray*}$ gegen den Fixpunkt $\begin{eqnarray*} \overline x \end{eqnarray*}$ konvergieren. Ich sehe aber nicht, dass hier eine Kontraktion vorliegt. Was machen wir denn dann ?

27.05.2020, 18:17

Huggy

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Um eine Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ mit dem Banachschen Fixpunktsatz zu lösen, sollte man sie umschreiben in die Form $\begin{eqnarray*} x=g(x) \end{eqnarray*}$ . Dafür bieten sich zwei naheliegende Möglichkeiten an: Man löst die Gleichung nach dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Term $\begin{eqnarray*} 3x \end{eqnarray*}$ auf oder nach dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Term $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ . Danach muss man schauen, ob man Bereiche findet, in denen die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind.

28.05.2020, 08:49

Patrick1990

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Dann habe ich nun
$\begin{eqnarray*} x=\frac 23 - \frac{x^3}{3} \end{eqnarray*}$
vorliegen.

Wie geht es nun weiter?

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28.05.2020, 09:21

Huggy

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Jetzt musst du untersuchen, ob es einen Bereich gibt, in dem die beiden Voraussetzungen des BF-Satzes erfüllt sind. Du solltest auch noch die zweite von mir angesprochene Möglichkeit betrachten.

28.05.2020, 10:33

Patrick1990

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Die zweite Möglichkeit wäre
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{2-3x} \end{eqnarray*}$

Die Bedingung wäre doch nun:

$\begin{eqnarray*} \|f(x)-f(y)\|\leq K\|x-y\|, K\in [0,1) \end{eqnarray*}$

oder aber auch

$\begin{eqnarray*} \|f'(x)\| < 1 \end{eqnarray*}$

Oder wie muss ich vorgehen?

28.05.2020, 10:42

Huggy

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Richtig. Das ist die Kontraktionsbedingung. Wo diese erfüllt ist, lässt sich über die Ableitung feststellen. Der BF-Satz hat aber neben der Kontraktionsbedingung noch eine zweite Voraussetzung.

28.05.2020, 11:41

Patrick1990

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wenn ich die Gleichungen $\begin{eqnarray*} x=g(x)=\frac{2}{3}-\frac{x^3}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=h(x)=\sqrt[3]{2-3x} \end{eqnarray*}$ betrachte, hätte ich ja dann
$\begin{eqnarray*} g'(x)=-x^2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} h'(x)=-\frac{1}{(2-3x)^\frac 23} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so?

Welche wäre die zweite Bedingung?

28.05.2020, 13:04

Huggy

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Zitat:

Original von Patrick1990
wenn ich die Gleichungen $\begin{eqnarray*} x=g(x)=\frac{2}{3}\frac{x^3}{3} \end{eqnarray*}$

Da ist dir ein Druckfehler passiert.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g'(x)=-x^2 \end{eqnarray*}$

Richtig. Was folgt daraus für die Kontraktionsbedingung?

Zitat:

Welche wäre die zweite Bedingung?

Man braucht eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . für die gilt $\begin{eqnarray*} g(M) \subseteq M \end{eqnarray*}$ . Die Kontraktionsbedingung muss dann für ganz $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gelten.

Die zweite Möglichkeit betrachten wir zunächst mal als Merkposten. Ob man sie wirklich braucht, kann entschieden werden, wenn man die erste Möglichkeit untersucht hat.

28.05.2020, 13:13

Patrick1990

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Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g'(x)=-x^2 \end{eqnarray*}$

Richtig. Was folgt daraus für die Kontraktionsbedingung?

Vielen Dank für die Info.

Es folgt, dass $\begin{eqnarray*} g'(x) \end{eqnarray*}$ immer kleiner 1 ist.

28.05.2020, 13:22

Huggy

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Zitat:

Original von Patrick1990
Es folgt, dass $\begin{eqnarray*} g'(x) \end{eqnarray*}$ immer kleiner 1 ist.

Das ist richtig. Es folgt sogar $\begin{eqnarray*} g'(x) \le 0 \end{eqnarray*}$ . Doch was hat das mit der Kontraktionsbedingung zu tun? Du hast sie doch oben richtig formuliert:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \|f'(x)\| < 1 \end{eqnarray*}$

Wobei jetzt zu schreiben wäre $\begin{eqnarray*} \|g'(x)\| < 1 \end{eqnarray*}$ .

28.05.2020, 13:36

Patrick1990

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Das ist der Fall wenn $\begin{eqnarray*} -1<x<1 \end{eqnarray*}$

28.05.2020, 13:42

Huggy

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Richtig. Was ist nun mit der zweiten Bedingung?

28.05.2020, 13:46

Patrick1990

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Verstehe ich das richtig, dass ich dafür sämtliche x-Werte zwischen -1 und 1 in die Funktion g(x) einsetzen könnte, und es müssten als Funktionswerte wieder Werte zwischen -1 und 1 heraus kommen?

28.05.2020, 13:54

Huggy

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Mal langsam! Die Kontraktionsbedingung gilt in

$\begin{eqnarray*} A=(-1,1) \end{eqnarray*}$

Es muss also gelten

$\begin{eqnarray*} M \subseteq A \end{eqnarray*}$

Du möchtest jetzt $\begin{eqnarray*} M=A \end{eqnarray*}$ wählen, was naheliegend ist. Und ja, dann müsste gelten $\begin{eqnarray*} g(A) \subseteq A \end{eqnarray*}$ . Es müsste aber auch noch gelten: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen. Ist das der Fall?

28.05.2020, 14:28

Patrick1990

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$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist offen, da -1 und 1 nicht in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthalten sind oder?

28.05.2020, 15:36

Huggy

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Richtig. Was kann man also machen?

28.05.2020, 16:01

Patrick1990

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In diesem Fall würde ich sagen h(x) überprüfen?

28.05.2020, 16:05

Huggy

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Das wäre verfrüht. Bisher haben wir ja nur gesehen, dass wir nicht $\begin{eqnarray*} M=A \end{eqnarray*}$ wählen können, wenn wir den BF-Satz benutzen willen. Was ist denn mit einem echten Teilintervall von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

28.05.2020, 16:16

Patrick1990

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Du meinst sowas wie $\begin{eqnarray*} [-0,9;0,9] \end{eqnarray*}$ ?

28.05.2020, 16:20

Huggy

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Ja, so etwas in der Art. Allerdings passt das noch nicht ganz. Was ist denn $\begin{eqnarray*} g(-0.9) \end{eqnarray*}$ ?

28.05.2020, 16:54

Patrick1990

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Ja ok immer noch größer 1.

Ich könnte ja eine Ungleichung aufstellen und nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösen oder macht man das so nicht?
Dürfte jedoch schwierig werden Big Laugh

Big Laugh

28.05.2020, 17:08

Huggy

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Zitat:

Original von Patrick1990
Ja ok immer noch größer 1.

Wie kommst du darauf? Es ist doch

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac 1 3 (2-x^3) \end{eqnarray*}$

Und da sagt mein Taschenrechner

$\begin{eqnarray*} g(-0.9) \approx 0.90967 \end{eqnarray*}$

Es liegt also $\begin{eqnarray*} g(-0.9 \end{eqnarray*}$ ) außerhalb des Intervalls $\begin{eqnarray*} [-0.9,0.9] \end{eqnarray*}$ . Wählen wir die Obergrenze also mal großzügig größer, d. h. probieren wir mal

$\begin{eqnarray*} M=[-0.9, 0.95] \end{eqnarray*}$

Da sagt der Taschenrechner

$\begin{eqnarray*} g(0.95) \approx 0.380875 \end{eqnarray*}$

Können wir jetzt schließen, dass z. B. $\begin{eqnarray*} M=[-0.9, 0.95 \end{eqnarray*}$ ] ein Intervall ist, dass die Voraussetzungen des BF-Satzes erfüllt? Wenn ja, weshalb?

29.05.2020, 09:38

Patrick1990

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Ahh, ich hatte es jetzt in die Ausgangs"funktion" $\begin{eqnarray*} x^3+3x-2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

Wie geht aber sowas ohne TR? Der darf eigentlich nicht verwendet werden.

Ich würde nun sagen ja, die Voraussetzung ist erfüllt, da
$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} g(M) \end{eqnarray*}$ ebenfalls Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist.

Ist das richtig ausgedrückt?

29.05.2020, 09:58

Huggy

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Zitat:

Original von Patrick1990
Wie geht aber sowas ohne TR? Der darf eigentlich nicht verwendet werden.

Da die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ zu ihrer Berechnung nur Additionen und Multiplikationen erfordert (und noch dazu sehr wenige), kann man sie für rationales $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch ohne Taschenrechner ohne zu großen Aufwand exakt berechnen. Da man das kann, spricht aus meiner Sicht nichts dagegen, sich die Arbeit durch seinen Gebrauch zu erleichtern. Man kann sich die Arbeit auch noch weiter erleichtern, indem man $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ als untere Grenze von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ wählt und als obere Grenze $\begin{eqnarray*} g(0)=\frac 2 3 \end{eqnarray*}$ Dann ist nur noch $\begin{eqnarray*} g(\frac 2 3) \end{eqnarray*}$ zu berechnen..

Zitat:

Ich würde nun sagen ja, die Voraussetzung ist erfüllt, da
$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} g(M) \end{eqnarray*}$ ebenfalls Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist.

Mal wieder nicht so schnell. Bisher haben wir nur gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ angewendet auf die Randwerte des gewählten $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ wieder Werte in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liefert. Es fehlt noch die Begründung, weshalb schon daraus $\begin{eqnarray*} g(M) \subseteq M \end{eqnarray*}$ folgt.

29.05.2020, 10:14

Patrick1990

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Könnte ich es durch das Monotonieverhalten begründen?

29.05.2020, 10:20

Huggy

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Exakt!

29.05.2020, 10:25

Patrick1990

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Ok ich finde heraus, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist.

Nun sind ja die Bedingungen erfüllt und ich erhalte daraus, dass die Nullstelle (der Fixpunkt) im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\frac{2}{3}] \end{eqnarray*}$ liegt?

29.05.2020, 10:30

Huggy

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Korrekt.

29.05.2020, 10:38

Patrick1990

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Die Funktion h(x) muss ich also gar nicht weiter betrachten und ich könnte nun das Intervall bei g(x) immer weiter verkleinern und schauen, ob die Bedingungen noch erfüllt sind?

29.05.2020, 10:48

Huggy

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Man muss das Intervall nicht immer weiter verkleinern. Es genügt, ein Intervall gefunden zu haben, dass die Bedingungen des BF-Satzes erfüllt. Dann konvergiert die Interation für einen beliebigen Anfangspunkt innerhalb des Intervalls. Für die konkrete Durchführung der Iteration ist natürlich ein Rechner unerlässlich, obwohl es prinzipiell per Hand geht.

Ob man $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ noch ansehen muss, hängt davon ab, ob man weiß oder zeigt, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ nur eine Nullstelle hat. Hätte $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ mehr als eine Nullstelle, könnte man eine weitere eventuell mit $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ finden.

29.05.2020, 11:01

Patrick1990

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Ok jetzt hab ichs, vielen Dank Augenzwinkern

Augenzwinkern

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