Wert einer geometrischen Reihe bestimmen

27.05.2020, 15:34

Artkusss

Wert einer geometrischen Reihe bestimmen

Hallo zusammen
Ich habe zwei Aufgaben, eigentlich sind beide sehr machbar. Bei der zweiten habe ich allerdings Probleme beim Umformen in die gewünschte Form. Wahrscheinlich seht ihr direkt, was zu tun wäre. Ich würde mich auf jeden Fall sehr über einen Denkanstoß freuen.

Wenn eine geometrische Reihe konvergiert und q < 1 ist, dann kann man direkt den Wert berechnen
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{inf} q^{k} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 1: Bestimme den Wert von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{inf} \frac{2^n}{7^n} \end{eqnarray*}$
Das kann ich ganz einfach umformen und erhalte $\begin{eqnarray*} (\frac{2}{7})^n \end{eqnarray*}$ . Mein q ist dadurch 2/7 und ich kann es einsetzen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{5}{7}}=1,4 \end{eqnarray*}$

Bei Aufgabe 2 habe ich leider Probleme:
Bestimme den Wert von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{inf} \frac{2^{n+1}}{7^{n-1}} \end{eqnarray*}$
Ich möchte den Term so umformen, dass der Exponent wieder über dem gesamten Rest steht, dadurch versuche ich erstmal das -1 und +1 in den Exponenten loszuwerden.
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} 2^{n} * 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 7^{n-1} \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} \frac{7^{n}}{7} \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt einiges ausprobiert, was ich gar nicht alles aufschreiben möchte... Allerdings hapert es bei mir jetzt daran, obiges in Form von $\begin{eqnarray*} q^k \end{eqnarray*}$ zu bringen, um q wiederum in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ einzusetzen.

27.05.2020, 15:51

klauss

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RE: Wert einer geometrischen Reihe bestimmen
Mit dem richtigen Laufindex ist es $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \dfrac{2\cdot 2^{k} }{\frac{1}{7}\cdot 7^{k} } \end{eqnarray*}$

Ziehe Konstanten vor das Summenzeichen.

27.05.2020, 16:19

Artkusss

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Stimmt, Laufindex war mein Fehler smile

Vom Ansatz ist das ja sonst schon ähnlich.
Wenn ich die Konstanten vor das Summenzeichen ziehe, erhalte ich aber am Ende auch wieder $\begin{eqnarray*} \frac{2}{7} ^{k} \end{eqnarray*}$ und dadurch das gleiche wie bei der ersten Aufgabe? Ich dachte eigentlich, da einen Kniff übersehen zu haben.

27.05.2020, 17:01

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Artkusss
Wenn ich die Konstanten vor das Summenzeichen ziehe, erhalte ich aber am Ende auch wieder $\begin{eqnarray*} \frac{2}{7} ^{k} \end{eqnarray*}$

... und den Faktor vor der Summe eben.

Viele Grüße
Steffen

27.05.2020, 17:13

Artkusss

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Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von Artkusss
Wenn ich die Konstanten vor das Summenzeichen ziehe, erhalte ich aber am Ende auch wieder $\begin{eqnarray*} \frac{2}{7} ^{k} \end{eqnarray*}$

... und den Faktor vor der Summe eben.

Viele Grüße
Steffen

Soweit ich das verstanden habe ändert die Kontante aber ja nichts am q, das ich für später brauche? Der Exponent muss sich auf das komplette q beziehen, was bei dem Faktor vor der Summe ja nicht der Fall ist.

Ich stehe gerade scheinbar auf dem Schlauch, schon einmal Danke für die entgegengebrachte Geduld!

27.05.2020, 17:19

Steffen Bühler

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Du hast es richtig verstanden.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k+1}}{7^{k-1}} = \frac 2 {\frac 17} \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{7^k} = \frac 2 {\frac 17} \cdot 1,4 = \dots \end{eqnarray*}$

27.05.2020, 17:45

Artkusss

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Du hast es richtig verstanden.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k+1}}{7^{k-1}} = \frac 2 {\frac 17} \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{7^k} = \frac 2 {\frac 17} \cdot 1,4 = \dots \end{eqnarray*}$

Jetzt hat es klick gemacht! Das q bleibt 2/7 und es kommt 1,4 raus.
1,4 ist aber nur das Ergebnis der Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1-q} = 1,4 \end{eqnarray*}$ und deshalb muss danach dann noch an den Faktor gedacht werden.
Endergebnis wären dann 19,6.

Vielen Dank, hab ich vorher irgendwie nicht gesehen.

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