Wie wird der Quellterm einer inhom. Diffusions-glg m. Hilfe des Crank-Nicolson Verfahrens berechnet?

27.05.2020, 15:37

SSil

Wie wird der Quellterm einer inhom. Diffusions-glg m. Hilfe des Crank-Nicolson Verfahrens berechnet?

Liebes Forum,

ich wiederhole hier nochmal meine Fragestellung, da ich sie auf Grund der begrenzten Zeichenanzahl im Titel nicht komplett ausschreiben konnte:

Wie wird der Quellterm $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einer transienten inhomogenen Diffusionsgleichung mit Hilfe des Crank-Nicolson Verfahrens berechnet?

Die transiente homogene Diffusionsgleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial c}{\partial t} - D \nabla^2 c = 0 \end{eqnarray*}$ , (1)
wobei $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ die Konzentration und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ den Diffusionskoeffizienten beschreibt, lässt sich nach meinem Wissen mit Hilfe des Crank-Nicolson Verfahrens folgendermaßen berechnen
$\begin{eqnarray*} \frac{u^{n+1} + u^n}{\Delta t} - \frac{ D (\nabla^2 c^{n+1}+ \nabla^2 c^n)}{2} = 0 \end{eqnarray*}$ . (2)

Kann ich daraus folgern, dass die transiente inhomogene Diffusionsgleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial c}{\partial t} - D \nabla^2 c = f \end{eqnarray*}$ (3)
sich folgendermaßen berechnen lässt
$\begin{eqnarray*} \frac{u^{n+1} + u^n}{\Delta t} - \frac{ D (\nabla^2 c^{n+1}+ \nabla^2 c^n)}{2} = \frac{f^{n+1}+f^n}{2} \end{eqnarray*}$ ? (4)

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!

04.06.2020, 12:42

SSil

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Braucht ihr weitere Informationen, um die Fragestellung zu beantworten? Natürlich bin ich bereit, weitere Angaben zu machen, wenn diese nötig sind.

04.06.2020, 12:52

HAL 9000

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Vermutlich sind allenfalls jene bereit zu antworten, die mit dem Begriff "Crank-Nicolson Verfahren" überhaupt etwas anzufangen wissen, und das sind wohl nicht allzu viele (ich gehöre auch nicht dazu).

17.06.2020, 18:21

SSil

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Zitat:

Original von HAL 9000
Vermutlich sind allenfalls jene bereit zu antworten, die mit dem Begriff "Crank-Nicolson Verfahren" überhaupt etwas anzufangen wissen, und das sind wohl nicht allzu viele (ich gehöre auch nicht dazu).

Danke für deine ehrliche Einschätzung. Ich habe hier mal ein Screenshot aus dem Wikipediaartikel zum Crank-Nicolson Verfahren (Ich darf aufgrund meiner geringen Beitragszahl keine Links einfügen) eingefügt.
[attach]51526[/attach]
Dass ich den Quellterm f in Formel (3) genau wie die Funktion F aus dem Wikipediaartikel genannt habe, ist reiner Zufall.
Wenn ich Formel (3) folgendermaßen umstelle
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial c}{\partial t} - D \nabla^2 c = f \end{eqnarray*}$ (3)
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{\partial c}{\partial t} = D \nabla^2 c + f \end{eqnarray*}$ (3.1)
mit
$\begin{eqnarray*} F := D \nabla^2 c + f \end{eqnarray*}$ , (5.1)
könnte ich doch darauf das Crank-Nicolson Verfahren, welches beschrieben ist durch
$\begin{eqnarray*} \frac{u^{n+1} + u^n}{\Delta t} = 1/2 * (F^{n+1} + F^n) \end{eqnarray*}$ (6)
mit
$\begin{eqnarray*} c := u \end{eqnarray*}$ (7)
anwenden und erhalte
$\begin{eqnarray*} \frac{c^{n+1} + c^n}{\Delta t} = 1/2 * (D \nabla^2 c^{n+1} + f^{n+1} + D \nabla^2 c^{n} + f^{n}) \end{eqnarray*}$ . (8)

Damit wäre Formel (8) gleich Formel (4) und meine Annahme wäre bestätigt, wobei ich gemerkt habe, dass ich bei Formel (2) und (4) fälschlicherweise auf der linken Seite der Gleichung $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ geschrieben habe.
Kann man das so machen?

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