Differentialgleichung mit Anfangsbedingung

zu lösen: $\begin{eqnarray*} u_t-u_{xx}=0 \end{eqnarray*}$ mit der Randbedingung $\begin{eqnarray*} u(x,0)=x^2 \end{eqnarray*}$

Diese Aufgabe ist wie geschaffen für einen Separationsansatz:

$\begin{eqnarray*} u(x,t) = f(x)\,g(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_t(x,t)=f(x)g'(t)\quad u_{xx}(x,t)=f''(x)g(t) \end{eqnarray*}$

einsetzen ergibt: $\begin{eqnarray*} f(x)g'(t)-f''(x)g(t)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{g'(t)}{g(t)}=\frac{f''(x)}{f(x)}=c \end{eqnarray*}$ (Vorzeichenfehler korrigiert)

Hier läßt sich die Tatsache ausnutzen, daß die Konstante c weder von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ noch von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängig sein kann. Man kann also getrennt auf die Suche nach $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(t) \end{eqnarray*}$ gehen.

28.05.2020, 14:51

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

@Ulrich: Das passt nicht zur Aufgabe und wie löst du $\begin{eqnarray*} \frac { f'' } f= -c \end{eqnarray*}$ .

Sofern die Lösung eindeutig ist (bin unsicher), führt dein Weg nicht zur Lösung.

28.05.2020, 16:11

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

@IfindU
Ich habe die Aufgabe nicht komplett durchgerechnet, jedoch bin ich der Meinung, daß mein Ansatz nicht verkehrt ist.

Zitat:

Original von IfindU
@Ulrich: Das passt nicht zur Aufgabe und wie löst du $\begin{eqnarray*} \frac { f'' } f= -c \end{eqnarray*}$ .

Auf beiden Seiten mit f(x)f'(x) mal nehmen, dann integrieren!

28.05.2020, 21:32

Bond 66

Auf diesen Beitrag antworten »

Leute soll ich jetzt weiter auf dem Weg weiter rechnen ?
Bis jetzt hat ausser Ullrich niemand geholfen Big Laugh

29.05.2020, 01:15

Bond 66

Auf diesen Beitrag antworten »

Jungs noch da?

29.05.2020, 09:07

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ löst die Differentialgleichung. Du musst zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} v= \partial_x \partial_x \partial_x u \end{eqnarray*}$ die Differentialgleichung löst und $\begin{eqnarray*} v(x,0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

29.05.2020, 09:17

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ein Versuch:

Wenn $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ die DGL löst, wird sie trivialerweise auch von $\begin{eqnarray*} u_{xxx} \end{eqnarray*}$ gelöst, denn auf der rechten Seite der DGL steht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und das dreimal abgeleitet bleibt $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Aus der gegebenen Anfangsbedingung ergibt sich auch $\begin{eqnarray*} u_{xxx}(x,0)=0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} u_{xxx} \end{eqnarray*}$ löst also die DGL zu dieser Anfangsbedingung. Und offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} u_{xxx}(x,t)=0 \end{eqnarray*}$ eine Lösung zu dieser Anfangsbedingung.

Mit der Eindeutigkeit tue ich mich etwas schwerer. Einerseits gibt es den allgemeinen Satz, dass die Lösungen der Wärmeleitungsgleichung zu gegebenen Anfangsbedingungen eindeutig sind. Damit wäre die Frage erledigt. Andererseits macht die Formulierung der Aufgabe eventuell den Eindruck, dass man den allgemeinen Satz nicht benutzen soll. Eine andere Begründung für die spezielle Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} u_{xxx}(x,0)=0 \end{eqnarray*}$ ist mir aber nicht eingefallen.

Betrachtet man die Frage der Eindeutigkeit gelöst, dann folgt aus $\begin{eqnarray*} u_{xxx}(x,t)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x,t)=c(t)x^2+d(t)x+e(t) \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in DGL ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} (*) \quad \dot c x^2+ \dot d x+ \dot e =2c \end{eqnarray*}$

Da die rechte Seite nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt, darf auch die linke Seite nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängen. Das erfordert

$\begin{eqnarray*} \dot c = \dot d=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(t) \end{eqnarray*}$ müssen also Konstanten sein. Betrachtet man (*) für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \dot e=2c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e=2ct+f \end{eqnarray*}$

Insgesamt hat man jetzt:

$\begin{eqnarray*} u(x,t)=c x^2+d x+2ct +f \end{eqnarray*}$

Aus der Anfangsbedingung ergibt sich $\begin{eqnarray*} u(1,0)=u(-1,0) \end{eqnarray*}$ . Das erfordert $\begin{eqnarray*} d=0 \end{eqnarray*}$ . Und aus $\begin{eqnarray*} u(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} u(1,0)=1 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ . Damit ist die Lösung

$\begin{eqnarray*} u(x,t)=x^2+2t \end{eqnarray*}$

29.05.2020, 09:38

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
@Ulrich: ... wie löst du $\begin{eqnarray*} \frac { f'' } f= -c \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \left.\frac { f'' } f= c\quad\right|\cdot ff' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''f'=cff' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int f''f'\dd x=c\int ff'\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int f'\dd f'=c\int f\dd f \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 12 (f')^2=\frac c2 f^2+c_1 \end{eqnarray*}$

29.05.2020, 09:50

Bond 66

Auf diesen Beitrag antworten »

Huggy soll ich jetzt für die b) deine Lösung u(x,t) 3 mal integrieren ?

29.05.2020, 10:06

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du sollst $\begin{eqnarray*} u_{xxx}(x,t) \end{eqnarray*}$ dreimal integrieren. Und das habe ich ja schon gemacht:

Zitat:

Betrachtet man die Frage der Eindeutigkeit gelöst, dann folgt aus $\begin{eqnarray*} u_{xxx}(x,t)=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} u(x,t)=c(t)x^2+d(t)x+e(t) \end{eqnarray*}$

Leider habe ich mich durch deinen letzten Hilferuf dazu hinreißen lassen, eine Komplettlösung zu liefern. Das ist sonst nicht meine Art.

Neue Frage »

Antworten »

Differentialgleichung mit Anfangsbedingung

Verwandte Themen