Grenzwert ganzer, holomorpher Funktion gegen unendlich

27.05.2020, 23:11	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert ganzer, holomorpher Funktion gegen unendlich Moin, hab mich vorhin folgendes gefragt: Gegeben eine ganze, nicht konstante, holo. Funktion f. Kann man tatsächlich $\begin{eqnarray} lim_{z \rightarrow \infty} f(z) = \infty \end{eqnarray}$ schließen? Grund meiner Frage ist, dass f zwar wegen Liouville unbeschränkt und gemäß Maximumsprizips auf den Rändern von Gebieten sein Maximum annimmt. Daraus folgere ich, dass "nach außen hin" jede holomorphe Funktion betragsmäßig wachsen muss, d.h. für Kugeln $\begin{eqnarray} B_r(0) \end{eqnarray}$ mit Radius r um Null muss gelten $\begin{eqnarray} r_1 > r_2 \geq 0 \Rightarrow max_{z\in \partial B_{r_1}(0)} \|f(z)\| > max_{z\in \partial B_{r_2}(0)} \|f(z)\| \end{eqnarray}$ Nun muss das Maximum des Betrags von f auf den Rändern dieser Kugeln zwar gegen unendlich gehen, jedoch sehe ich gerade nicht, dass nicht Richtungen in C existieren könnten, für welche der Grenzwert von f(z) für z -> unendlich nicht unendlich ist, d.h. gibt es vielleicht $\begin{eqnarray} \phi \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} lim_{r \rightarrow \infty} f(r e^{i \phi}) \neq \infty \end{eqnarray}$ ?
28.05.2020, 06:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls $\begin{align} \infty \end{align}$ eine wesentliche Singularität der ganzen Funktion $\begin{align} f \end{align}$ ist (die Taylorreihe bricht also nicht ab), dann kommt $\begin{align} f \end{align}$ in jeder Umgebung von $\begin{align} \infty \end{align}$ jeder komplexen Zahl beliebig nahe (Satz von Casorati-Weierstraß, oder noch stärker: Satz von Picard). Nimm zum Beispiel die Exponentialfunktion $\begin{align} f(z) = \operatorname{e}^z \end{align}$ . Betrachte für $\begin{align} n \geq 0 \end{align}$ die Folgen $\begin{align} (a_n), \, (b_n), \, (c_n) \end{align}$ mit $\begin{align} a_n = -n \, , \ \ b_n = \ln(2) + 2 \pi \operatorname{i} n \, , \ \ c_n = n \end{align}$ Was ist mit $\begin{align} f(a_n), \, f(b_n), \, f(c_n) \end{align}$ für $\begin{align} n \to \infty \end{align}$ ?
28.05.2020, 18:23	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
f(an) geht gegen Null für n -> unendlich, bn gegen 2 und f(cn) gegen unendlich. Ergo ist der Grenzwert nicht wohldefiniert bzw. hängt von der Richtung ab. Dann wäre m.E.n. der Ausdruck $\begin{eqnarray} lim_{z->\infty} e^z \end{eqnarray}$ nicht wohldefiniert oder er existiert nicht. Was würde man hier sagen?

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