Topologie: Regulär, hausdorffsch und normal nicht äquivalent

28.05.2020, 14:18	silenceofthreeparts	Auf diesen Beitrag antworten »
Topologie: Regulär, hausdorffsch und normal nicht äquivalent Gegeben sind zwei Räume X1 = $\begin{eqnarray} \{z\in\mathbb{C}:\ Imz\ge0\} \end{eqnarray}$ , wobei die Topologie erzeugt wird von allen offenen Kreisscheiben, die die reelle Achse nicht treffen, und allen Mengen $\begin{eqnarray} \{a\}\cup\{z\in\mathbb{C}:\ Imz>0,\ \|z-a\|<r\} \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} a\in\mathbb{R},\ r\in\mathbb{R}_{>0} \end{eqnarray}$ X2 = (0,1), wobei die offenen Mengen genau die leere Menge, X2 selbst und Mengen der Form $\begin{eqnarray} (\frac{1}{n},1) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N}_{\ge2} \end{eqnarray}$ sind. Zu zeigen ist nun: (a) Nicht jeder Hausdorff-Raum ist normal. (b) Dass ein Raum regulär ist, ist weder äquivalent dazu, dass er hausdorffsch, noch dass er normal ist. Ich habe schon gezeigt, dass X1 zwar ein Hausdorff-Raum, aber nicht normal oder regulär ist. Jedoch ist mir nicht klar, was ich nun mit X2 machen soll. Nun ist ja noch zu zeigen, dass es einen Raum gibt, der zwar regulär, aber nicht normal ist. Oder eben andersherum. Aber für mich sieht es so aus, als sei X2 keines von beiden. Habe wohl einen Denkfehler. Kann mir jemand das erklären? Schon einmal vielen Dank

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