Hauptvektorkette immer möglich?

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dave48859 Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptvektorkette immer möglich?
Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage zum Thema Hauptvektoren:
Allgemein kann man Hauptvektoren durch lösen der Gleichung finden.
Durch herausheben und umformen erhält man:. Nun zu meiner Frage angenommen ich habe eine matrix mit der Dimension 3, welche einen Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 3 hat und geometrischer Vielfachheit 2. -> ich benötige noch einen Hauptvektor um z.b eine Dgl zu lösen.
Wie weiß ich welchen Eigenvektor ich nehmen muss um die Kette zu bilden? v1 oder v2? Bzw lässt sich durch diese Kette immer ein LU Hauptvektor finden?

Meine Ideen:
Meiner Meinung müsste das immer funktionieren wegen der oben beschriebenene Gleichung.Hab aber in Erinnerund,dass der prof in der Vorlesung angemerkt hat, dass dies nicht immer so einfach ist...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptvektorkette immer möglich?
Zitat:
Original von dave48859
Allgemein kann man Hauptvektoren durch lösen der Gleichung finden.


Das ist keine Gleichung, also kann man nichts lösen und finden. Das Verfahren muss ein anderes sein. Wenn der Professor von Schwierigkeiten spricht, dann kann er nur technische Schwierigkeiten meinen, denn theoretisch ist das Problem gelöst.
dave48856 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptvektorkette immer möglich?
Hab natürlich gemeint. Durch lösen dieser Gleichung erhält man im Allgemeinen alle Hauptvektoren i-ten Grades bestimmen. Was bedeutet wenn ich bei dieser gleichung .. Meine Frage ist:
Kann man immer durch berechnen oder gibt es da Einschränkungen? Schließlich ist dies wesentlich weniger Aufwand als die oberste Gleichung zu lösen.

Zum Beispiel aus dem ersten Post: Wenn ich zwei Eigenvektoren kenne benötige ich noch einen um um zum lösen einer dgl. Welchen Eigenvektor muss man nehmen um den benötigten Hauptvektor zu erhalten? Ist es egal welchen? Oder ist das bilden einer Kette nicht immer möglich?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In deinen Gleichungen musst du die Variable durch die Einheitsmatrix ersetzen. Im übrigen erkenne ich, dass die Gleichungen so für komplexe Vektorräume in Ordnung sind, für allgemeine Vektorräume natürlich nicht. Ich berechne die Haupträume immer als Kerne von . Dass die Relationen der Hauptvektoren gelten sieht man an der Jordannormalform, warum die Berechnung dadurch einfacher wird, erschließt sich mir nicht. Wenn es einfacher wird, kannst du mit einem beliebigen anfangen. Wäre dem nicht so, würde die Gleichung nicht gelten, offenbar gilt sie aber.
dave48855 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry hab natürlich gemeint. Die Frage ist aber ob man mit immer die fehlenden Hauptvektoren bestimmen kann? Ein LGS kann ja auch keine Lösung haben.

Zur erleichterten Berechnung:
zu berechnen und dann, und von dem daraus entstehenden Polynom die Nullstellen zu finden ist nicht gerade spaßig..

Wesentlich weniger Arbeit ist es die Eigenvektoren zu bestimmen, und dann falls nötig mehrere (einfache) LGS zu lösen. Deshalb die Frage ob dies immer möglich ist oder ob es sich um einen Spezialfall handelt.

mfg David
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es scheint immer möglich zu sein, wie gesagt nur für komplexe Vektorräume (oder algebraisch abgeschlossene ? / jedenfalls nicht immer). Wenn man den Hauptraum berechnet, muss man nur ein homogenes LGS berechnen. Mit einem Iterationsverfahren muss man mehrere inhomogene LGSe berechnen. Ich bin nicht sicher, welcher Aufwand größer ist. Selbstverständlich darfst du immer das Verfahren anwenden, das dir im Einzelfall besser erscheint.
 
 
dave48857 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile
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