Sylowgruppen von S_n abelsch

28.05.2020, 14:39

Phasma

Sylowgruppen von S_n abelsch

Sei $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ die symmetrische Gruppe der Permutationen $\begin{eqnarray*} \left\{1,2,...,n \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Primzahl mit $\begin{eqnarray*} p\leq n<p^2 \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass jede $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Sylowuntergruppe von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ abelsch ist.

Meine Ideen:
Also ich habe es mit dem 3. Sylowsatz versucht. Nach dem muss für die Anzahl $\begin{eqnarray*} a_p \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Sylowgruppen gelten:

$\begin{eqnarray*} a_p=1 \ \mod \ p \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} a_p | \frac{n!}{p} \end{eqnarray*}$ , weil ja $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ bereits größer als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist.

Hier stecke ich leider fest.

Wobei, jetzt frage ich mich gerade, was das ganze überhaupt soll. Wenn $\begin{eqnarray*} p^2>n \end{eqnarray*}$ , dann ist ja auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} |S_n|=n!=n(n-1)(n-2)...=m\cdot p \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilerfremd ist, oder?
Daraus folgt doch (aus dem 1. Sylowsatz), dass jede $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Sylowgruppe genau $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Elemente hat, also isomorph zur zyklischen Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ und daher abelsch ist?!

Habe ich da jetzt einen Denkfehler gemacht, oder ist die Aufgabe damit bereits gelöst?

30.05.2020, 07:54

jester.

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RE: Sylowgruppen von S_n abelsch
Achtung, in diesem Beitrag steckt ein Denkfehler, bitte noch die Folgebeiträge beachten :-)

Zitat:

Original von Phasma
Wobei, jetzt frage ich mich gerade, was das ganze überhaupt soll. Wenn $\begin{eqnarray*} p^2>n \end{eqnarray*}$ , dann ist ja auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} |S_n|=n!=n(n-1)(n-2)...=m\cdot p \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilerfremd ist, oder?

Ja, die Bedingung $\begin{eqnarray*} p^2>n \end{eqnarray*}$ ist hier durchaus wichtig, führst sie doch dazu, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ genau in einfacher Potenz in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vorkommt.

Zitat:

Daraus folgt doch (aus dem 1. Sylowsatz), dass jede $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Sylowgruppe genau $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Elemente hat, also isomorph zur zyklischen Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ und daher abelsch ist?!

Habe ich da jetzt einen Denkfehler gemacht, oder ist die Aufgabe damit bereits gelöst?

Nein, keine Denkfehler. Damit ist die Aufgabe gelöst.
Sylow garantiert die Existenz einer $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Untergruppe, deren Ordnung hier eben genau $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist, da dies die größte Potenz ist, welche die Gruppenordnung teilt.
Insbesondere hilft dir die Richtung, in die du zuerst gelaufen bist, nicht weiter (Bestimmung der Anzahl der $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Sylowgruppen).

30.05.2020, 09:11

Phasma

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RE: Sylowgruppen von S_n abelsch
Danke für die Rückmeldung!

Mittlerweile habe ich (in einem Buch) eine Lösung zu der Aufgabe gefunden. Hier mal die Lösungsstrategie, die da verfolgt wird:

Da wird ganz anders und für mich viel komplizierter argumentiert, indem zunächst $\begin{eqnarray*} n=mp+r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m,r \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r<p \end{eqnarray*}$ geschrieben wird. Daraus wird dann gefolgert, dass die p-Sylowgruppen die Ordnung $\begin{eqnarray*} p^m \end{eqnarray*}$ haben müssen (was ich nicht verstehe).
Dann werden $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkte p-Zykel in der S_n betrachtet. Es wird dann gezeigt, dass die von diesen Zykeln erzeugte Gruppe eine Sylowgruppe ist. Dann wird eine weitere p-Sylowgruppe betrachtet, die nach den Sylowsätzen konjugiert zur ersten ist. Damit, dass die erste Sylowgruppe abelsch war (wegen den disjunkten Zykeln) wird dann gezeigt, dass auch die zweite abelsch sein muss.

Ich weiß gar nicht, wo die Bedingung $\begin{eqnarray*} p^2>n \end{eqnarray*}$ da überhaupt eingeht?! In jedem Fall bin ich froh, dass meine Argumentation auch funktioniert, denn die kommt mir deutlich einfacher vor.

30.05.2020, 10:57

jester.

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Oh, entschuldige bitte, ich habe gerade gemerkt, dass ich mental wohl $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2p \end{eqnarray*}$ verwechselt habe.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} p=5 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n=16 \end{eqnarray*}$ . Dann teilt ja schon $\begin{eqnarray*} 5^3 \end{eqnarray*}$ die Gruppenordnung $\begin{eqnarray*} 16! \end{eqnarray*}$ .

Aber: $\begin{eqnarray*} S_{16} \end{eqnarray*}$ operiert ja auf 16 Punkten, und es gilt (Division mit Rest, wie in deiner Lösung):
$\begin{eqnarray*} 16=5\cdot \underbrace{3}_{m} + \underbrace{1}_{r} \end{eqnarray*}$ .
Und nun betrachte mal diese drei Zykel:
$\begin{eqnarray*} (1,2,3,4,5) \in S_{16} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (6,7,8,9,10) \in S_{16} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (11,12,13,14,15) \in S_{16} \end{eqnarray*}$
Das sind drei Zykel der Ordnung 5, die paarweise disjunkt sind. Also erhalten wir eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S_{16} \end{eqnarray*}$ , die isomorph ist zu $\begin{eqnarray*} C_5 \times C_5 \times C_5 \end{eqnarray*}$ (ich finde, man sollte die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_p \end{eqnarray*}$ hier nicht benutzen, deswegen tue ich es nicht - ist aber ein anderes Thema).
Aus Ordnungsgründen ist das eine $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ -Sylowgruppe.

Du fragst noch, wo hier $\begin{eqnarray*} p^2 > n \end{eqnarray*}$ eigentlich eingegangen ist. Lass uns doch noch ein Beispiel betrachten, $\begin{eqnarray*} p=3, ~n=9 \end{eqnarray*}$ , also den Grenzfall $\begin{eqnarray*} p^2=n \end{eqnarray*}$ .
Die maximale Potenz von $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ , welche $\begin{eqnarray*} 9! \end{eqnarray*}$ teilt, ist $\begin{eqnarray*} 3^4 \end{eqnarray*}$ .
Möchte ich nun wie zuvor argumentieren, müsste ich 4 paarweise disjunkte 3-Zykel auf 9 Punkte verteilen. Für 4 paarweise disjunkte 3-Zykel brauche ich aber mindestens $\begin{eqnarray*} 3\cdot 4 = 12 > 9 \end{eqnarray*}$ Punkte.
Der springende Punkt ist also, dass wegen $\begin{eqnarray*} n<p^2 \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} mp < n \end{eqnarray*}$ und wir somit "genug Platz" haben, um tatsächlich $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkte $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Zykel wählen zu können.

Noch als Anmerkung Die $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ -Sylowgruppen der $\begin{eqnarray*} S_9 \end{eqnarray*}$ (und $\begin{eqnarray*} A_9 \end{eqnarray*}$ ) sind isomorph zu
$\begin{eqnarray*} \langle (1,2,3), ~(4,5,6), ~ (7,8,9), ~ (1,4,7)(2,5,8)(3,6,9) \rangle \cong C_3 \wr C_3 \cong (C_3 \times C_3 \times C_3) \rtimes C_3 \end{eqnarray*}$ .

30.05.2020, 12:10

Phasma

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Ja klar

In $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ können sich natürlich noch mehr Vielfache von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ verstecken.

Mit deinen Erklärungen konnte ich den Beweis nachvollziehen, danke dafür! Nur hier

Zitat:

Original von jester.
Du fragst noch, wo hier $\begin{eqnarray*} p^2 > n \end{eqnarray*}$ eigentlich eingegangen ist. Lass uns doch noch ein Beispiel betrachten, $\begin{eqnarray*} p=3, ~n=9 \end{eqnarray*}$ , also den Grenzfall $\begin{eqnarray*} p^2=n \end{eqnarray*}$ .
Die maximale Potenz von $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ , welche $\begin{eqnarray*} 9! \end{eqnarray*}$ teilt, ist $\begin{eqnarray*} 3^4 \end{eqnarray*}$ .
Möchte ich nun wie zuvor argumentieren, müsste ich 4 paarweise disjunkte 3-Zykel auf 9 Punkte verteilen. Für 4 paarweise disjunkte 3-Zykel brauche ich aber mindestens $\begin{eqnarray*} 3^4 > 9 \end{eqnarray*}$ Punkte..

meinst du wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} 3\cdot 4 >9 \end{eqnarray*}$ Punkte, oder? Allgemein müsste es im Fall $\begin{eqnarray*} p^2=n \end{eqnarray*}$ doch so sein, dass $\begin{eqnarray*} p^{p+1} \end{eqnarray*}$ die maximale Potenz ist, die $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ teilt, also müsste man $\begin{eqnarray*} p\cdot (p+1) >p^2=n \end{eqnarray*}$ disjunkte Zykel auf $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Punkte verteilen, was nicht geht.

30.05.2020, 12:47

jester.

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Zitat:

Original von Phasma
[...] Nur hier

Zitat:

Original von jester.
[...]

meinst du wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} 3\cdot 4 >9 \end{eqnarray*}$ Punkte, oder?

Ja. Ich glaube das ist schon wieder der gleiche Denkfehler, wie heute Morgen. Hilfe! Big Laugh

Zitat:

Allgemein müsste es im Fall $\begin{eqnarray*} p^2=n \end{eqnarray*}$ doch so sein, dass $\begin{eqnarray*} p^{p+1} \end{eqnarray*}$ die maximale Potenz ist, die $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ teilt, also müsste man $\begin{eqnarray*} p\cdot (p+1) >p^2=n \end{eqnarray*}$ disjunkte Zykel auf $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Punkte verteilen, was nicht geht.

Das Problem ist nicht direkt die Anzahl der Zykel, sondern die Einträge in den Zykeln. 15 Einträge in meinem Beispiel in der $\begin{eqnarray*} S_{16} \end{eqnarray*}$ .

Nachtrag: Ich habe den obigen Beitrag korrigiert. Ich hoffe es stimmt jetzt alles...

30.05.2020, 12:58

Phasma

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Ja, stimmt, die Anzahl der Einträge habe ich gemeint.

Jetzt hab ich es verstanden, aber selbst draufgekommen wäre ich nicht. Wie geht man denn an so etwas heran? Ist diese Idee mit der Division mit Rest und den disjunkten Zykeln irgendwie typisch, oder wie ist da der Gedankengang, durch den man darauf kommt?

31.05.2020, 09:24

jester.

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Zitat:

Original von Phasma
Jetzt hab ich es verstanden, aber selbst draufgekommen wäre ich nicht. Wie geht man denn an so etwas heran? Ist diese Idee mit der Division mit Rest und den disjunkten Zykeln irgendwie typisch, oder wie ist da der Gedankengang, durch den man darauf kommt?

Erstmal zur Division mit Rest: Das ist schlussendlich nur die "ordentliche" Formulierung der Idee, dass ich die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Punkte mit soundso vielen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Zykeln ausschöpfe und dabei noch eine Anzahl von Punkten - kleiner als $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ - übrigbleibt. Nehmen wir nochmal $\begin{eqnarray*} n=16 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=5 \end{eqnarray*}$ . Dann kann ich die 16 Punkte mit 3 Zykeln ausfüllen und ein Punkt bleibt übrig. "Formell" entspricht dies der Division mit Rest $\begin{eqnarray*} 16=3\cdot 5 + 1 \end{eqnarray*}$ .
Das mutet - wenn man es als Musterlösung vorgesetzt bekommt - wahrscheinlich so ähnlich an, wie wenn in einer Vorlesung zur Analysis I die Konvergenz irgendeiner bestimmten Folge bewiesen wird. Es geht los mit "Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ " und der Professor wählt dann sein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ als irgendeinen scheinbar wirren und ggf. riesigen Ausdruck, und wie von Geisterhand endet die Abschätzung dann aber auf $\begin{eqnarray*} ... < \varepsilon \end{eqnarray*}$ . In Wahrheit ist der Wahl des Ausdrucks von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ aber auch nur eine einfache Rechnung vorausgegangen, die dann schlicht nicht gezeigt wird.

Nun mal ansonsten zu der Frage, wie man sich einer solchen Aufgabe nähern kann.
1) Idealerweise stellt man, wenn man keine Denkfehler macht, als erstes mal fest, wie groß die größte Potenz von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sein kann, welche $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ teilt.
Ggf. sieht man sich Beispiele unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} p\leq n < p^2 \end{eqnarray*}$ an.

2) Ein guter nächster Schritt kann sein, sich Beispiele mit Computer-Algebra-Systemen anzusehen, welche in endlichen Gruppen rechnen können.
Während der Promotion habe ich immer mit Magma gearbeitet, das ist aber mit einer recht teuren Lizenz versehen - kostenlos gibt es nur einen eher unkomfortablen Online-Rechner.
GAP ist eine mir bekannte gute (und kostenlose) Alternative. Sicher gibt es noch andere Möglichkeiten.
Dabei geht es gar nicht darum zu schauen, ob die betroffenen Sylowgruppen tatsächlich abelsch sind, so wie behauptet. Davon würde ich erstmal ausgehen bei einer Übungsaufgabe. Sondern man kann sich die Sylowgruppen ja schonmal konkret ansehen, um eine Idee zu bekommen, wie sie aussehen könnten.
Nützlich könnte auch sein zu schauen, wie die Gegenbeispiele (z.B. $\begin{eqnarray*} p^2 = n \end{eqnarray*}$ ) aussehen.

3) Die nächste Möglichkeit, sich dem Thema zu nähern, ist in der Tat das Arbeiten mit (disjunkten) Zykeln. Sylow sagt ja unter anderem auch, dass jede $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Untergruppe in eine jede $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Sylowgruppe hineinkonjugieren lässt. D.h. dass ich eine $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Sylowgruppe mit Untergruppen von kleinerer Potenz "ausschöpfen" kann.
Dabei kommen die disjunkten Zykel ins Spiel, weil es sonst zu kompliziert wird.
Beispiel: Betrachten wir mal $\begin{eqnarray*} n=10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=5 \end{eqnarray*}$ . Die Gruppenordnug $\begin{eqnarray*} n!=10! \end{eqnarray*}$ wird dann genau zweimal von $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ geteilt, d.h. eine Sylowgruppe hat die Ordnung $\begin{eqnarray*} 25 \end{eqnarray*}$ .
Sicher können wir eine Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ hinschreiben. Z.B. diejenige, die von $\begin{eqnarray*} (1,2,3,4,5) \end{eqnarray*}$ erzeugt wird. Nun möchten wir "weiterkommen" und eine Untegruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} 25 \end{eqnarray*}$ finden, die unsere Untergruppe $\begin{eqnarray*} \langle (1,2,3,4,5) \rangle \end{eqnarray*}$ umfasst. Zwar erzeugt jeder $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ -Zykel eine Untegruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ eine Untegruppe der Ordnung 5, aber wenn wir jetzt einen nicht zu $\begin{eqnarray*} (1,2,3,4,5) \end{eqnarray*}$ disjunkten $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ -Zykel hinzunehmen, wissen wir nicht direkt, was passiert - wir müssten es uns überlegen. Wir wissen aber, dass disjunkte Zykel miteinander vertauschen, also nehmen wir $\begin{eqnarray*} (6,7,8,9,10) \end{eqnarray*}$ hinzu und wissen genau, dass wir eine Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} 25 \end{eqnarray*}$ gefunden haben. Aus Ordnungsgründen ist es eine $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ -Sylowgruppe.

Mit den Überlegungen aus (2) haben wir aber nun die "richtige" Idee für den Beweis, mit (1) lässt er sich griffig formulieren.

So ungefähr kann man sich einer solchen Aufgabe nähern. Genauso habe ich auch das Gegenbeispiel der $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ -Sylowgruppen in der $\begin{eqnarray*} S_9 \end{eqnarray*}$ konstruiert. Ich habe versucht, die Sylowgruppe mit $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ -Zykeln auszuschöpfen, war dann noch nicht fertig; hatte aber ein Idee, was noch dazu passen könnte (zugegeben, nicht ganz so leicht zu sehen wie die Sache mit den disjunkten Zykeln). Ich habe also 4 Zykel aufgeschrieben und mir dann nur noch von Magma bestätigen lassen, dass die von diesen Zykeln erzeugte Untergruppe die richtige Ordnung $\begin{eqnarray*} 3^4 \end{eqnarray*}$ hat.

Ich hoffe, dass dir diese Gedankensammlung noch einmal ein bisschen weitergeholfen hat.

31.05.2020, 22:52

Phasma

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Vielen Dank für deine ausführliche Hilfe zu der Aufgabe!! Ich denke deine Gedanken zur Herangehensweise haben mir auch geholfen, und so ein CAS werde ich mir auch mal anschauen (auch wenn man in der Prüfung natürlich ohne auskommen musss Augenzwinkern

)

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