Das Riemann-Kriterium für Infimum und Supremum

29.05.2020, 11:13	Tangentialvektor	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Riemann-Kriterium für Infimum und Supremum Meine Frage: Hallo, Freunde der reellen Zahlen! Ich werde im folgenden die zu beweisende Äquivalenz und meinen Fortschritt darlegen. Ich soll folgenden Satz beweisen: Seien $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ nichtleere Teilenmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , und es gelte $\begin{eqnarray} a \leq b \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ und für alle $\begin{eqnarray} b \in B \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie das Riemann-Kriterium: Es gilt: $\begin{eqnarray} sup(A) = inf(B) \end{eqnarray}$ genau dann, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} b \in B \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} b - a < \epsilon \end{eqnarray}$ gilt. Nun zu meinem Beweis: Die "Hinrichtung". Sei $\begin{eqnarray} s_0 := sup(A) = inf(B) \end{eqnarray}$ . Nach der $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ -Charakterisierung gilt: Es existiert zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} b \in B \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} s_0 - \epsilon < a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b < s_0 + \epsilon \end{eqnarray}$ . Zusammen mit der Voraussetzung, dass für alle $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a \leq b \end{eqnarray}$ gilt, ergibt sich: $\begin{eqnarray} s_0 - \epsilon < a \leq b < s_0 + \epsilon \end{eqnarray}$ . Zieht man nun $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ab: $\begin{eqnarray} (s_0 - a) - \epsilon < b - a < (s_0 - a) + \epsilon \end{eqnarray}$ . Nach der Definition des Supremums/Infimums gilt für alle $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} a \leq s_0 \leq b \Leftrightarrow 0 \leq s_0 - a \leq b - a \end{eqnarray}$ . Hier hänge ich. Dieses Epsilon führt dazu, dass das Ungleichheitszeichen umklappt und zu einem echt-Ungleichheitszeichen wird. Ich habe das Gefühl, dass das der Weg zum Beweis ist, allerdings habe ich keine Ahnung, was das heißt. Bitte nur Tipps zu dieser Epsilon-Thematik. Danke! Meine Ideen: .

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