Kombination zweier Verteilungen

29.05.2020, 11:40

ainacs

Kombination zweier Verteilungen

Ich hoffe, es ist kein Problem, wenn ich die Aufgabe in Englisch poste.

[attach]51384[/attach]

Ich kann mir vorstellen, dass die neue Verteilungsfunktion eine Art Mittelwert der ersten beiden sein muss, habe aber keinen guten Ansatz, dort hinzukommen. Wir haben zwar in der Vorlesung etwas bezüglich Linearkombinationen gemacht, aber nur im allgemeinen Ramen mit allgemeinen Vektoren.

EDIT: Habe die falsche Kategorie gewählt. Dieser Post gehört natürlich in den Bereich Hochschulmathematik

29.05.2020, 11:50

HAL 9000

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Eigentlich kann man mit diesen Informationen allein nicht die Verteilung der Gesamtkosten (= Summe von Personal- und anderen Kosten) berechnen. Vermutlich soll man zusätzlich annehmen, dass beide Kosten unabhängig voneinander anfallen, diese Unabhängigkeitsannahme bezeichne ich mal mit (U).

Wenn ich mal mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Personal- und mit $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die anderen Kosten bezeichne, dann berechnet man die Verteilung der Gesamtkosten $\begin{eqnarray*} Z=X+Y \end{eqnarray*}$ mit der sog. Faltungssumme, das ist

$\begin{eqnarray*} P(Z=z) = \sum_x P(X=x,Y=z-x) \stackrel{(U)}{=} \sum_x P(X=x)P(Y=z-x) \end{eqnarray*}$

dabei wird jeweils über die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ summiert, welche $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ annehmen kann. Macht natürlich nur Sinn für diejenigen Werte $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , die die Summe überhaupt nur annehmen kann, denn für alle anderen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ sind alle Werte $\begin{eqnarray*} P(Y=z-x)=0 \end{eqnarray*}$ .

29.05.2020, 14:53

ainacs

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Danke für deinen Beitrag! Ich glaube, ich habe es verstanden.
Nach meinen Überlegungen, ist $\begin{eqnarray*} z \in [3;16] \subset \mathbb N \end{eqnarray*}$

Dann würde sich z.B.: $\begin{eqnarray*} P(Z=3) \end{eqnarray*}$ so berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{x}^{} P(X=x)P(Y=3-x) = P(X=5)P(Y=3-5)+P(X=3)P(Y=3-3)+P(X=2)P(Y=3-2)+P(X=6)P(Y=3-6)+P(X=1)P(Y=3-1) = 0+0+0+0+0.15=0.15 \end{eqnarray*}$

Für (b) muss ich dann nur $\begin{eqnarray*} 1-(P(3)+...+P(7)) \end{eqnarray*}$ berechnen oder?

29.05.2020, 16:50

HAL 9000

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Ja, hast du alles richtig verstanden. Freude

Hilfreich bei der Berechnung ist es, erstmal eine Tabelle von allen wesentlichen $\begin{eqnarray*} P(X=x)P(Y=y) \end{eqnarray*}$ zu erstellen, exemplarisch habe ich erstmal nur das erste dieser Produkte wirklich eingetragen:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|l|l|l||l|l|l|l|l|l|}\hline&& x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\\hline&& P(X=x) & 0.05 & 0.45 & 0.3 & 0 & 0.1 & 0.1\\\hline y & P(Y=y) &&&&&&&\\\hline 2 & 0.3 && 0.015 &&&&&\\\hline 3 & 0.1 &&&&&&&\\\hline 4 & 0 &&&&&&&\\\hline 5 & 0.25 &&&&&&&\\\hline 6 & 0 &&&&&&&\\\hline 7 & 0 &&&&&&&\\\hline 8 & 0.2 &&&&&&&\\\hline 9 & 0 &&&&&&&\\\hline 10 & 0.15 &&&&&&&\\\hline\end{array} \end{eqnarray*}$

Die Nullzeilen bzw. -spalten habe ich nicht ohne Grund aufgenommen: Durch die fortlaufenden $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ muss man nun zur Bestimmung von P(Z=z) nur "diagonal" summieren. Augenzwinkern

Zitat:

Original von ainacs
Für (b) muss ich dann nur $\begin{eqnarray*} 1-(P(3)+...+P(7)) \end{eqnarray*}$ berechnen oder?

Ebenfalls richtig.

29.05.2020, 17:31

ainacs

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Sehr schön!

Danke für deine Bemühungen!

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