Gleichungssystem: Kontraktion zeigen

29.05.2020, 22:45

Ed97

Gleichungssystem: Kontraktion zeigen

Meine Frage:
Hallo,

ich arbeite gerade "Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler" durch und hänge gerade an der Übungsaufgabe 5.8.12. Dort ist folgendes nicht lineares Gleichungssystem gegeben:

$\begin{eqnarray*} ln(1+x_2)-2*x_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin(x_1)*cos(x_2)-4*x_2+1=0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x_1 \in [0, 1/4]~und~x_2 \in[0,1/2] \end{eqnarray*}$

Daraus soll eine Fixpunktiteration gemacht werden und der Banachsche Fixpunktsatz darauf angewendet werden.

Meine Ideen:
Man wandelt ein Gleichungssystem in eine Iteration um in dem man es in die form h(x)=x+A*f(x) umschreibt mit einer invertierbaren Matrix A. Dazu gibt es mehrere Möglichkeiten, aber da hier keine Matrix spezifiziert wird habe ich einfach mal die Einheitsmatrix genommen. Nun meine erste Frage, ist hier stumpfes ausprobieren gefragt oder gibt es Kriterien, die einem erlauben die Matrix A möglichst geschickt zu wählen? Nachdem ich die Gleichung h(x)=x+f(x)aufgestellt habe, habe ich zuerst mal die Jacobimatrix aufgestellt und mir das Supremum ihrer Norm angeschaut, leider war diese größer 1 weshalb hier das Kriterium sup||J(x)||<=k<1 nicht anwendbar ist. Daraufhin habe ich etwas rumprobiert und geschaut, ob ich ||h(x)-h(y)||/||x-y|| < 1 direkt zeigen kann, leider ohne Erfolg. Weiß jemand wie man diese Kontraktion zeigt oder habe ich schon von Anfang an eine falsche Matrix gewählt?

Grüße

Ed

30.05.2020, 11:13

Huggy

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RE: Gleichungssystem: Kontraktion zeigen

Zitat:

Original von Ed97
Man wandelt ein Gleichungssystem in eine Iteration um in dem man es in die form h(x)=x+A*f(x) umschreibt mit einer invertierbaren Matrix A.

Das Buch kenne ich nicht, aber das gegebene Gleichungssystem kann man doch naheliegend und simpel so in eine Iteration umschreiben:

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix}=g(x)=\begin{pmatrix} g_1(x) \\ g_2(x) \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac 1 2 \ln (1+x_2) \\ \frac 1 4 (\sin (x_1) \cos (x_2)+1) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit ist

$\begin{eqnarray*} \Vert J(g(x)) \Vert <1 \end{eqnarray*}$

und der Banachsche Fixpunktsatz gilt.

30.05.2020, 13:34

Ed97

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Ah, okay. Ich war so auf die Matrizen fokussiert, dass ich das Ausklammern erst gar nicht probiert habe. Danke ^^

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