Vektoridentität mit Epsilon-Tensor

30.05.2020, 02:41

SandraS.

Vektoridentität mit Epsilon-Tensor

Meine Frage:
Hallo Ihr Lieben,

ich möchte eine Identität zeigen bzw. berechnen mit dem epsilon-Tensor (Levi-Civita-Symbol). Ich weiß, was heraus kommen soll. Ich kriege es nicht hin. Ich gehe davon aus, dass der Nabla-Operator nicht mit einem Vektor kommutiert, richtig?

Meine Ideen:
Puh, also folgendes habe ich: $\begin{eqnarray*} rot(\vec A \times \vec B) = \nabla(\vec A \times \vec B) = (\nabla(\vec A \times \vec B)_{l})_{m} = \sum \epsilon_{klm} \partial_{k} (\vec A \times \vec B)_{l} = \sum (\epsilon_{klm} \partial_{k} \sum (\epsilon_{ijl} a_{i} b_{j})) = \sum (\epsilon_{klm} \partial_{k} (\epsilon_{ijl} a_{i} b_{j} + \epsilon_{jil} a_{j} b_{i}) \end{eqnarray*}$
Soweit macht es für mich Sinn. Allerdings weiß ich nicht, über welche Indizes summiert wird, daher gibt es bei den Summen auch keinen Laufindex. Das ist so verwirrend. Ich würde nun als nächstes ausmultiplizieren (die Klammer auflösen). Wäre das richtig?
Kann jemand helfen?

Viele Grüße

Sandra

30.05.2020, 04:23

Ehos

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Achtung Schreibfehler! Du hast das " $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ " hinter dem " $\begin{eqnarray*} \nabla \end{eqnarray*}$ " vergessen. In klassischer Schreibweise lautet also der Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} rot(\vec A\times \vec B)=\nabla \times (\vec A\times \vec B)=\begin{pmatrix} \tfrac{\partial}{\partial x_2}(A_1B_2-A_2B_1)-\tfrac{\partial}{\partial x_3}(A_3B_1-A_1B_3) \\ \tfrac{\partial}{\partial x_3}(A_2B_3-A_3B_2)-\tfrac{\partial}{\partial x_1}(A_1B_2-A_2B_1) \\ \tfrac{\partial}{\partial x_1}(A_3B_1-A_1B_3)-\tfrac{\partial}{\partial x_2}(A_2B_3-A_3B_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Den Term auf der rechten Seite kann man mittels Produktregel weiter ausdifferenzieren. Um den mittleren Ausdruck $\begin{eqnarray*} \nabla \times (\vec A\times \vec B) \end{eqnarray*}$ mittels Epsilon-Tensor auszudrücken, musst du die beiden darin enthaltenen Kreuzprodukte mit folgender allgemeinen Formel ausdrücken

$\begin{eqnarray*} \vec X\times \vec Y=\delta_{ijk}X_iY_j=\begin{pmatrix} \delta_{123}X_2Y_3+\delta_{132}X_3Y_2 \\ \delta_{231}X_3Y_1+\delta_{213}X_1Y_3 \\ \delta_{312}X_1Y_2+\delta_{321}X_2Y_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} X_2Y_3-X_3Y_2 \\X_3Y_1-X_1Y_3 \\ X_1Y_2-X_2Y_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei wird in jeder einzelnen Komponente k=1 oder k=2 oder k=3 stets automatisch über alle Kombinationen derjenigen Indizes summiert, welche im Produkt doppelt auftreten - in diesem Falle also über alle Kombinationen i,j. Das Doppel-Summenzeichen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{3} \sum\limits_{j=1}^{3} \end{eqnarray*}$ lässt man lässt man der Einfachheit halber weg. Der Index k bleibt bei der Summierung in jeder der 3 Komponenten k=1, 2, 3 fest.

31.05.2020, 11:40

Ulrich Ruhnau

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RE: Vektoridentität mit epsilon-Tensor

Zitat:

Original von SandraS.
ich möchte eine Identität zeigen bzw. berechnen ... Ich gehe davon aus, dass der Nabla-Operator nicht mit einem Vektor kommutiert, richtig?

Welche Identität soll eigentlich gezeigt werden? Etwa:

$\begin{eqnarray*} \nabla \times (\vec A\times\vec B)=(\vec B\cdot\nabla)\vec A-(\vec A\cdot\nabla )\vec B+\vec A(\nabla\cdot \vec B)-\vec B(\nabla\cdot \vec A) \end{eqnarray*}$

Außerdem wird der Nabla-Operator mit einem ortsabhängigen Vektor oder Skalar im allgemeinen nicht kommutieren.

31.05.2020, 17:13

SandraS.

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Vielen Dank für Deine Antworten!

Genau die Identität sollte gezeigt werden.

31.05.2020, 17:17

SandraS.

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RE: Vektoridentität mit epsilon-Tensor
Ah, die Einsteinsche Summenkonvention?
Würdest Du sagen, man solle in einer Klausur den Hinweis geben, dass man diese benutzt hat oder sollte das klar sein?

Das Kreuz des Kreuzprodukts habe ich tatsächlich einfach vergessen (ich weiß dass das schlimm ist). An meiner Antwort ab dem ersten Summenzeichen hätte sich nichts geändert.

Ich probiere mal weiter. Danke für Eure Hilfen.

31.05.2020, 19:40

SandraS.

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Ich habe fertig gerechnet. Aber die Identität $\begin{eqnarray*} rot(\vec A \times \vec B) = (\vec B \nabla) \vec A - \vec B (\nabla \vec A) - (\vec A \nabla) \vec B + \vec A(\nabla \vec B) \end{eqnarray*}$ konnte ich nicht zeigen. Wo ist der Fehler?
$\begin{eqnarray*} rot(\vec A \times \vec B) = \nabla\times (\vec A \times \vec B) = (\nabla\times (\vec A \times \vec B)_{k})_{i} = \sum\limits_{j,k} (\epsilon_{ijk} \partial_{j} (\vec A \times \vec B)_{k}) = \sum\limits_{j,k} (\epsilon_{ijk} \partial_{j}) (\sum\limits_{l,m} (\epsilon_{klm} a_{l} b_{m})) = \sum\limits_{j,k} (\epsilon_{ijk} \partial_{j} (\epsilon_{klm} a_{l} b_{m} + \epsilon_{kml} a_{m} b_{l})) \end{eqnarray*}$
Ich führe das Summenzeichen mit bzw. nutze die Einsteinsche Summenkonvention nicht. Nun würde ich ausmultiplizieren. Das sieht dann so aus:
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{j,k} (\epsilon_{ijk} \partial_{j} \epsilon_{klm} a_{l} b_{m}) + \sum\limits_{j,k} (\epsilon_{ijk} \partial_{j} \epsilon_{kml} a_{m} b_{l}) \end{eqnarray*}$
In Komponentenschreibweise sind die Faktoren kommutativ. Ich kann mir die Faktoren innerhalb der Summen also sortieren:
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{j,k} (\epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} \partial_{j} a_{l} b_{m}) + \sum\limits_{j,k} (\epsilon_{ijk} \epsilon_{kml} \partial_{j} a_{m} b_{l}) \end{eqnarray*}$
Ich kann nun die Summationsregel für $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Tensoren anwenden:
$\begin{eqnarray*} = (\delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}) \partial_{j} a_{l} b_{m} + (\delta_{im} \delta_{jl} - \delta_{il} \delta_{jm}) \partial_{j} a_{m} b_{l} \end{eqnarray*}$
Ausmultiplizieren ergibt
$\begin{eqnarray*} = \delta_{il} \delta_{jm} \partial_{j} a_{l} b_{m} - \delta_{im} \delta_{jl} \partial_{j} a_{l} b_{m} + \delta_{im} \delta_{jl} \partial_{j} a_{m} b_{l} - \delta_{il} \delta_{jm} \partial_{j} a_{m} b_{l} \end{eqnarray*}$
Ich sortiere nach Indizes:
$\begin{eqnarray*} = \delta_{il} a_{l} \delta_{jm} \partial_{j} b_{m} - \delta_{im} b_{m} \delta_{jl} \partial_{j} a_{l} + \delta_{im} a_{m} \delta_{jl} \partial_{j} b_{l} - \delta_{il} b_{l} \delta_{jm} \partial_{j} a_{m} \end{eqnarray*}$
Das Kronecker- $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zeigt an, was übrig bleibt:
$\begin{eqnarray*} = a_{i} \partial_{j} b_{j} - b_{i} \partial_{j} a_{j} + a_{i} \partial_{j} b_{j} - b_{i} \partial_{j} a_{j} = \vec A (\nabla \vec B) - \vec B (\nabla \vec A) + \vec A (\nabla \vec B) - \vec B (\nabla \vec A) \end{eqnarray*}$
Solange der $\begin{eqnarray*} \nabla \end{eqnarray*}$ -Operator und ein Vektor nicht kommutieren, stimmt die Identität nicht.
Kann jemand helfen?

Viele Grüße

Sandra

31.05.2020, 23:38

Ulrich Ruhnau

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RE: Vektoridentität mit epsilon-Tensor
Also falls es Dir hilft:
$\begin{eqnarray*} \nabla \times (\vec A\times\vec B)=(\vec B\cdot\nabla)\vec A-(\vec A\cdot\nabla )\vec B+\vec A(\nabla\cdot \vec B)-\vec B(\nabla\cdot \vec A)=(b_j\partial_ja_i)-(a_j\partial_jb_i)+(a_i\partial_jb_j)-(b_i\partial_ja_j) \end{eqnarray*}$

01.06.2020, 00:43

SandraS.

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Hallo Ulrich,

jein, also ich sehe den Unterschied in den Indizes.
In meiner Rechnung kommt es nicht hin und ich weiß nicht warum. Nach welcher Regel muss man ausmultiplizieren? Da scheint es ja schon falsch zu werden.
Ich möchte von $\begin{eqnarray*} rot(\vec A \times \vec B) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (\vec B \nabla) \vec A - \vec B (\nabla \vec A) - (\vec A \nabla) \vec B + \vec A(\nabla \vec B) \end{eqnarray*}$ mit dem epsilon-Tensor. Das funktioniert nicht. traurig

01.06.2020, 07:19

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von SandraS.
Nach welcher Regel muss man ausmultiplizieren?

die $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ kannst Du beliebig vor oder hinter die $\begin{eqnarray*} \partial \end{eqnarray*}$ -Operatoren ziehen. Denn die $\begin{eqnarray*} \partial \end{eqnarray*}$ -Operatoren wirken nur auf die a und b.

02.06.2020, 00:54

SandraS.

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Danke für Deine erneute Antwort. Du hast mich nicht aufgegeben. smile

Ich weiß mittlerweile, dass ich den epsilon-Tensor nach vorne ziehen kann und dass die Ableitung nur auf a und b wirkt. Aber solange ich ja in der Komponentendarstellung kommutieren kann, macht die Beweisführung der Identität mit dem epsilon-Tensor keinen Sinn. Ich muss während der Rechnung wissen, wie die Komponenten zu stehen haben, damit ich am Ende der Rechnung sagen kann: Guck mal, es passt!"

Ich vermute ganz stark, dass ich irgendwas mit der Indizierung nicht verstanden habe. Irgendwas sehr wichtiges, das für Profis viel zu trivial ist, um es hier zu erwähnen...

Mein Problem hier ist eben auch, dass bei mir $\begin{eqnarray*} \partial \end{eqnarray*}$ immer ganz links steht.
Muss ich denn im epsilon-Tensor die Indizes rotieren, wenn ich die Komponenten kommutiere?

02.06.2020, 07:34

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von SandraS.
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{j,k} (\epsilon_{ijk} \partial_{j}) (\sum\limits_{l,m} (\epsilon_{klm} a_{l} b_{m})) = \sum\limits_{j,k} (\epsilon_{ijk} \partial_{j} (\epsilon_{klm} a_{l} b_{m} + \epsilon_{kml} a_{m} b_{l})) \end{eqnarray*}$

Meiner Meinung nach ist an dieser Verdopplung etwas faul. Wo ist außerdem die Summation über $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ geblieben?

06.06.2020, 19:02

SandraS.

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Was meinst Du mit Verdoppelung?

Im Prinzip habe ich die Schreibweise aus diversen Tutorials übernommen.
Es gilt doch: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{l,m} (\epsilon_{klm} a_{l} b_{m}) = \epsilon_{klm} a_{l} b_{m} + \epsilon_{kml} a_{m} b_{l} \end{eqnarray*}$
Es bleiben beim Kreuzprodukt nur zwei Summanden pro Komponente eines Vektors übrig, wobei der zweite eine antizyklische Permutation hat und daher negativ wird. Also $\begin{eqnarray*} \epsilon_{kml} = -1 \end{eqnarray*}$
Daher verschwindet das $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{l,m} \end{eqnarray*}$ .

So dachte ich zumindest.

Was meinst Du dazu?

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