LR-Zerlegung: Spezialfall 4x4?

30.05.2020, 18:15

laienstefan

LR-Zerlegung: Spezialfall 4x4?

Ich habe vor einigen Tagen ein Thema erstellt, allerdings im Algebra-Bereich. Dort hat es wohl nicht hingepasst, weshalb ich keine Antwort bekommen habe. Gestern ist mir aber aufgefallen, was das Problem sein könnte, darum habe ich in dem Thema auch selbst geantwortet. Allerdings verstehe ich selbst nicht, warum die ursprüngliche Lösung nicht richtig ist.
Darum fasse ich hier nochmal zusammen, um es übersichtlich zu halten (die komplette Frage mit Rechnung ist hier zu finden):

Gegeben war die Matrix A, davon sollte ich eine LR-Zerlegung mit Spaltenpivotsuche erstellen:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Folgende Umformungen nahm ich vor, Zeilenvertauschungen jeweils durch eine Permutationsmatrix P und Umformungen/Subtraktionen jeweils durch L-Matrizen:

$\begin{eqnarray*} P_1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_1 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} P_2 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} P_3 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} L_2 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit erhalte ich

$\begin{eqnarray*} P = P_3 * P_2 * P_1 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} L = L_2 * L_1 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & 1 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun sollte LR=PA gelten. Allerdings erhalte ich Folgendes:

$\begin{eqnarray*} LR = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & 1 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} 2 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{3}{4} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 4 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} PA = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Problem lässt sich beheben, wenn man in der L-Matrix das 1/2 in die letzte Zeile stellt. Das hieße wohl, das folgende Vorgehen wäre nötig:

Man guckt am Schluss, ob der Koeffizient (hier 1/2) auch wirklich auf die Zeile angewandt wurde, die endgültig auf der Position steht, wo der Koeffizient in L steht. In diesem Fall ist die Zeile, auf die der Koeffizient angewandt wurde, (damals die erste Zeile), nun in der letzten Zeile, darum wandert das 1/2 mit.
Ich habe die LR-Zerlegung vorher schon einige Male durchgeführt, aber fast ausschließlich an 3x3-Matrizen. Dort habe ich es aber so gemacht, wie ich es hier versucht hatte. Also die L-Matrix sah da immer so aus:

$\begin{eqnarray*} L = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei war $\begin{eqnarray*} l_{21} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} l_{31} \end{eqnarray*}$ die Zahl, mit der ich die erste Zeile multipliziert habe, bevor ich sie von der zweiten bzw. dritten abgezogen habe. $\begin{eqnarray*} l_{32} \end{eqnarray*}$ war die Zahl, mit der ich die zweite Zeile multipliziert habe, bevor ich sie von der letzten dritten habe.
Das gleiche Vorgehen habe ich hier auch versucht, es hat aber offensichtlich nicht geklappt. Woran liegt das?

Schönes Wochenende noch! Wink

02.06.2020, 16:27

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist doch: Wieso bildest du $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ als Produkt dieser $\begin{eqnarray*} L_k \end{eqnarray*}$ -Matrizen? Normalerweise geht man beim Aufbau der $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ -Matrix im Rahmen der LR-Zerlegung anders vor.

02.06.2020, 18:25

laienstefan

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, als Produkt der L_k-Matrizen wurde es bisher in der Vorlesung gerechnet (allerdings ohne Pivotisierung). Darum wollte ich vorerst dabei bleiben. Ohne Pivotisierung klappt das ja auch wunderbar. Ohnehin scheinen das nur der formale Wege zu sein, oder?
Es kann gut sein, dass in der Mathematik für Ingenieure nur eine abgespeckte LR-Zerlegung bearbeitet wird...
In der Praxis kann man ohne Pivotisierung die L-Matrix ja auch direkt ablesen, indem man alle Diagonaleinträge auf 1 setzt und $\begin{eqnarray*} l_{i1} \end{eqnarray*}$ als Koeffizient beim Gauß-Schritt $\begin{eqnarray*} z_i -> z_i - l_{i1}*z_1 \end{eqnarray*}$ abliest. Was jetzt klappt (bei den bisherigen Versuchen), ist Folgendes: Ich lese die Koeffizienten weiterhin so ab, berücksichtige dabei allerdings die Zeilenvertauschungen NACH dem Gauß-Schritt: werden nach $\begin{eqnarray*} z_2 -> z_2 - l_{21}*z_1 \end{eqnarray*}$ z. B. die zweite und dritte Zeile vertauscht, wird aus $\begin{eqnarray*} l_{21} \end{eqnarray*}$ im Endeffekt $\begin{eqnarray*} l_{31} \end{eqnarray*}$ .
Aber ist das auch korrekt so bzw. klappt es so immer?

29.07.2020, 22:34

hawe

Auf diesen Beitrag antworten »

Bin gerade über diese Diskussion gestolpert.

Bei den Li fehlt der Faktor -1 in den Werten außerhalb der Diagonalen:
Die Li sollten einen Gaussschritt beschreiben. Die Rechnung führt zu

L3 P3 L2 P2 L1 P1 A = R

Abgleich der Zeilentausche

(L3 P3 L2 P2 L1 P2 P3) (P3 P2 P1) A = R

===>

(P3 P2 P1) A = (L3 P3 L2 P2 L1 P2 P3)^-1 R
P A = L R

$\begin{eqnarray*} \small \left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \cdot A = \left[\begin{array}{cccc}1.0000 & 0.0000 & 0.0000 & 0.0000 \\ 0.0000 & 1.0000 & 0.0000 & 0.0000 \\ 0.0000 & 0.0000 & 1.0000 & 0.0000 \\ 0.50000 & 0.0000 & 0.25000 & 1.0000\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{llll}2.0000 & 4.0000 & -1.0000 & 0.0000 \\ 0.0000 & 1.0000 & 1.0000 & 0.0000 \\ 0.0000 & 0.0000 & 2.0000 & 3.0000 \\ 0.0000 & 0.0000 & 0.0000 & -0.75000\end{array}\right] \end{eqnarray*}$

01.08.2020, 00:02

laienstefan

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hawe
Bin gerade über diese Diskussion gestolpert.

Bei den Li fehlt der Faktor -1 in den Werten außerhalb der Diagonalen:
Die Li sollten einen Gaussschritt beschreiben. Die Rechnung führt zu

L3 P3 L2 P2 L1 P1 A = R

Da hast du recht, dann passt das - vielen Dank!

Bei meinen Versuchen seitdem hat auch immer das Vorgehen funktioniert, die Zeilenvertauschungen auch auf die Koeffizienten l_i anzuwenden. Was also z. B. am Anfang l_21 war, kann am Schluss l_31 sein, nämlich wenn in der Zwischenzeit die zweite und dritte Zeile vertauscht wurden. Das hat bisher immer funktioniert und müsste auch allgemeingültig sein, oder?

Wenn die Zeit drängt, könnte das eine Alternative sein.

01.08.2020, 13:02

hawe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann Deiner Argumentation nicht folgen. zeilentausche sind Matrizenmultiplikationen von Links...

Ich hab einmal SMath überredet (für 4x4 muss ein step-Block ergänzt werden)
https://de.smath.com/cloud/sheet/wF4HbW3Rup
Oder auch GeoGebra
https://www.geogebra.org/m/vbrw8pe2
Vielleicht hilft das?

01.08.2020, 21:50

laienstefan

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Ressourcen, wirklich hilfreich!
Eine Antwort auf meine letzte Frage konnte ich dort nicht finden.
Vielleicht verdeutlicht ein einfaches Beispiel meine Frage:

$\begin{eqnarray*} M = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Erster Schritt (zwei Subtraktionen auf einmal): $\begin{eqnarray*} z_2 -> z_2 - \frac{b_1}{a_1} z_1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} l_{21} = \frac{b_1}{a_1} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} z_3 -> z_3 - \frac{c_1}{a_1} z_1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} l_{31} = \frac{c_1}{a_1} \end{eqnarray*}$

Neue Matrx: $\begin{eqnarray*} M_1 = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & (b_2 - \frac{b_1}{a_1} a_2) & (b_3 - \frac{b_1}{a_1} a_3) \\ 0 & (c_2 - \frac{c_1}{a_1} a_2 & (c_3 - \frac{c_1}{a_1} a_3) \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Zweiter Schritt: Vertauschung der 2. und dritten Zeile (die angesprochene Multiplikaton von links mit $\begin{eqnarray*} P = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Neue Matrix: $\begin{eqnarray*} A = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & (c_2 - \frac{c_1}{a_1} a_2 & (c_3 - \frac{c_1}{a_1} a_3) \\ 0 & (b_2 - \frac{b_1}{a_1} a_2) & (b_3 - \frac{b_1}{a_1} a_3) \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier höre ich der Übersichtlichkeit halber schon auf.

Nach Schritt 1 war die L-Matrix $\begin{eqnarray*} L_1 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & 0 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{b_1}{a_1} & 1 & 0 \\ \frac{c_1}{a_1} & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre A jetzt bereits auf Dreiecksform, wäre $\begin{eqnarray*} L_1 = L \end{eqnarray*}$ .
Dadurch, dass ich aber die Zeilen vertauscht habe, ändert sich auch die endgültige L-Matrix, nämlich werden $\begin{eqnarray*} l_{21} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l_{31} \end{eqnarray*}$ vertauscht, sodass die finale L-Matrix wie folgt lautet:

$\begin{eqnarray*} L_{final} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{31} & 1 & 0 \\ l_{21} & 0 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \frac{c_1}{a_1} & 1 & 0 \\ \frac{b_1}{a_1} & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Also vielleicht erst einmal die Zwischenfrage: Stimmt die endgültige L-Matrix?
Dieses Vorgehen hat bisher bei allen Aufgaben geklappt.
Da ich ja aber nicht die gesamten Zeilen von $\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$ tausche, erhalte ich $\begin{eqnarray*} L_{final} \end{eqnarray*}$ nicht durch Multiplikation von links mit P.

Alternativ wäre der Lösungsweg wohl $\begin{eqnarray*} R = L_1 * P * P * M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (L_1 * P)^{-1} = L \end{eqnarray*}$ - so wurde es imho oben gemacht.
Bei mehreren Umformungen kann das aber (erst recht von Hand) deutlich umständlicher werden wegen der nötigen Matrizenmultiplikationen und Invertierung. Daher die Frage: Ist meine Herangehensweise mit dem Tauschen der Koeffizienten $\begin{eqnarray*} l_{ij} \end{eqnarray*}$ zulässig und wenn ja, lässt sich das unkompliziert mathematisch begründen?

02.08.2020, 11:27

hawe

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vorne weg. Die Li-Matrizen ergeben NICHT L, erst die Inverse dazu ist L.
Das hab ich in meiner vorletzten Antwort inklusive dem bei Pivotsuche notwendigen Abgleich ausgeführt - vielleicht sollte ich ergänzen oder unterstreichen, das die Zeilentauschmatrizen selbstinvers sind!
Die zu einer Gaußmatrix Li gehörende Permutationsmatrix Pi steht rechts davon
Li Pi Ai
Der Zeilentausch erfolgt in Ai um das betragsgrößte Element für Li zu positionieren...

Deine ganzen Überlegungen gehen meines Erachtens am Problem vorbei, kann das sein?
—-
Zitat Kern-Algorithmus

L3 P3 L2 P2 L1 P1 A = R

Abgleich der Zeilentausche

(L3 P3 L2 P2 L1 P2 P3) (P3 P2 P1) A = R

===>

(P3 P2 P1) A = (L3 P3 L2 P2 L1 P2 P3)^-1 R
P A = L R

02.08.2020, 14:30

laienstefan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir nicht sicher, ob wir uns nicht ein bisschen im Kreis drehen? Nochmal ein Beispiel, das ich gefunden habe (wegen identischer Koeffizienten suboptimal, aber vielleicht anschaulich):

[attach]51782[/attach]

mit den Matrizen

[attach]51783[/attach]

Soweit stimmen wir überein, oder? Das ist alles verständlich, aber eben recht viel Aufwand.

Deshalb die (hoffentlich korrekte) Alternative:

Ich bilde direkt die finale Matrix L, indem ich die Faktoren $\begin{eqnarray*} l_{21} = - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l_{31} = - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ aus der o. g. $\begin{eqnarray*} L_{Welle}^1 \end{eqnarray*}$ ablese und mit umgekehrtem Vorzeichen an die gleiche Position schreibe. Dadurch erhalte ich direkt das o. finale L, wofür ich sonst $\begin{eqnarray*} L = (L_{Welle}^1)^{-1} \end{eqnarray*}$ bilden müsste.
So haben wir es bei der Zerlegung ohne Pivotisierung immer gemacht.
Da hier aber nach der Elimination noch die Zeilenvertauschung durchgeführt wird, muss ich - so mein Ansatz - auch in der entstehenden L-Matrix $\begin{eqnarray*} - l_{21} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} - l_{31} \end{eqnarray*}$ vertauschen. Hier macht es keinen Unterschied, da $\begin{eqnarray*} l_{31}=l_{21} \end{eqnarray*}$ , darum suboptimales Beispiel.
Kann es wirklich Zufall sein, dass das bei allen bisherigen Aufgaben geklappt hat?

03.08.2020, 11:10

hawe

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Invertierten durch Ändern der Vorzeichen funktioniert nur bei Elementarmatrizen und $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ ist im Allgemeinen keine Elementarmatrix sondern eine Dreiecksmatrix - Deine Vorgehensweise funktioniert also nur in Sonderfällen...
Die zu überblicken ist meines Erachtens fehleranfälliger als ChemaF zu rechnen?

Neue Frage »

Antworten »

LR-Zerlegung: Spezialfall 4x4?

Verwandte Themen