LR-Zerlegung: Spezialfall 4x4?

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laienstefan Auf diesen Beitrag antworten »
LR-Zerlegung: Spezialfall 4x4?
Ich habe vor einigen Tagen ein Thema erstellt, allerdings im Algebra-Bereich. Dort hat es wohl nicht hingepasst, weshalb ich keine Antwort bekommen habe. Gestern ist mir aber aufgefallen, was das Problem sein könnte, darum habe ich in dem Thema auch selbst geantwortet. Allerdings verstehe ich selbst nicht, warum die ursprüngliche Lösung nicht richtig ist.
Darum fasse ich hier nochmal zusammen, um es übersichtlich zu halten (die komplette Frage mit Rechnung ist hier zu finden):

Gegeben war die Matrix A, davon sollte ich eine LR-Zerlegung mit Spaltenpivotsuche erstellen:



Folgende Umformungen nahm ich vor, Zeilenvertauschungen jeweils durch eine Permutationsmatrix P und Umformungen/Subtraktionen jeweils durch L-Matrizen:





Damit erhalte ich



und



Nun sollte LR=PA gelten. Allerdings erhalte ich Folgendes:



und



Das Problem lässt sich beheben, wenn man in der L-Matrix das 1/2 in die letzte Zeile stellt. Das hieße wohl, das folgende Vorgehen wäre nötig:

Man guckt am Schluss, ob der Koeffizient (hier 1/2) auch wirklich auf die Zeile angewandt wurde, die endgültig auf der Position steht, wo der Koeffizient in L steht. In diesem Fall ist die Zeile, auf die der Koeffizient angewandt wurde, (damals die erste Zeile), nun in der letzten Zeile, darum wandert das 1/2 mit.
Ich habe die LR-Zerlegung vorher schon einige Male durchgeführt, aber fast ausschließlich an 3x3-Matrizen. Dort habe ich es aber so gemacht, wie ich es hier versucht hatte. Also die L-Matrix sah da immer so aus:



Dabei war bzw. die Zahl, mit der ich die erste Zeile multipliziert habe, bevor ich sie von der zweiten bzw. dritten abgezogen habe. war die Zahl, mit der ich die zweite Zeile multipliziert habe, bevor ich sie von der letzten dritten habe.
Das gleiche Vorgehen habe ich hier auch versucht, es hat aber offensichtlich nicht geklappt. Woran liegt das?

Schönes Wochenende noch! Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist doch: Wieso bildest du als Produkt dieser -Matrizen? Normalerweise geht man beim Aufbau der -Matrix im Rahmen der LR-Zerlegung anders vor.
laienstefan Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, als Produkt der L_k-Matrizen wurde es bisher in der Vorlesung gerechnet (allerdings ohne Pivotisierung). Darum wollte ich vorerst dabei bleiben. Ohne Pivotisierung klappt das ja auch wunderbar. Ohnehin scheinen das nur der formale Wege zu sein, oder?
Es kann gut sein, dass in der Mathematik für Ingenieure nur eine abgespeckte LR-Zerlegung bearbeitet wird...
In der Praxis kann man ohne Pivotisierung die L-Matrix ja auch direkt ablesen, indem man alle Diagonaleinträge auf 1 setzt und als Koeffizient beim Gauß-Schritt abliest. Was jetzt klappt (bei den bisherigen Versuchen), ist Folgendes: Ich lese die Koeffizienten weiterhin so ab, berücksichtige dabei allerdings die Zeilenvertauschungen NACH dem Gauß-Schritt: werden nach z. B. die zweite und dritte Zeile vertauscht, wird aus im Endeffekt .
Aber ist das auch korrekt so bzw. klappt es so immer?
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