Matrix A mit Erwartungswerten; Messunsicherheiten

31.05.2020, 14:36

dsyleixa

Matrix A mit Erwartungswerten; Messunsicherheiten

Gegeben sei eine n×n Diagonal-Matrix A = ein hermitescher Operator (hier: 11×11), die in der Diagonalen mögliche Messwerte enthält:
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 3 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & 4 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dazu ein senkrechter Vektor q ("Ket"), der die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die Einzelereignisse enthält (Wurzel aus den Einzelwahrscheinlichkeiten):
$\begin{eqnarray*} |q> = \begin{pmatrix} 1/6 \\ \sqrt{2} /6 \\ \sqrt{3} /6 \\ 2/6 \\ \sqrt{5} /6 \\ \sqrt{6} /6 \\ \sqrt{5} /6 \\2/6 \\ \sqrt{3} /6 \\ \sqrt{2} /6 \\ 1/6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und den dazu transponierten (komplex konjugierten) Vektor ("Bra")
$\begin{eqnarray*} <q| = |q>^{T*} = (1/6, \sqrt{2} /6 , \sqrt{3} /6 , 2/6 , \sqrt{5} /6 , \sqrt{6} /6 , \sqrt{5} /6 , 2/6 , \sqrt{3} /6 , \sqrt{2} /6 , 1/6 ) \end{eqnarray*}$

dann ist <q|q> = 1 (Gesamtwahrscheinlichkeit = 100%) und
$\begin{eqnarray*} <A> := <q| A |q> \end{eqnarray*}$
ist der Erwartungswert von A.
rechnet man ihn aus, erhält man mit den obigen Werten <A> =7
und für <A²> = 57,6.

Die Unsicherheit $\begin{eqnarray*} \Delta A \end{eqnarray*}$ des hermiteschenOperators A ist gegeben durch
$\begin{eqnarray*} \Delta A = \sqrt{<A²> - <A>²} \end{eqnarray*}$

Rechnet man das für die obigen Werte aus, ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \Delta A = \sqrt{57,6 - 7²} = \sqrt{8,6} = 2,93 \end{eqnarray*}$

Gut soweit, hoffe ich (?).

Jetzt habe ich eine aktuelle Messung mit dem Ergebnis 2 (1. Matrixfeld)

Wie ist das Messergebnis zu bewerten bzw. zu interpretieren, wenn die Messunsicherheit wie berechnet 2,93 beträgt?
Reicht sie in den negativen Bereich, also 2 ± 2,93 = -0,93...4,93?
Oder werden immer mathematisch/physikalisch/rechnerisch alle negativen Zahlenbereiche abgeschnitten?

01.06.2020, 13:10

dsyleixa

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RE: Matrix A mit Erwartungswerten; Messunsicherheiten
ob mir hier jemand Tipps zur Interpretation geben kann...?
als Ereignisse sind ja laut Operator/Matrix nur 2,3,4,5... möglich, keine 0, keine 1, keine reellen Zwischenwerte und erst recht auch keine negativen Zahlen.
Wie muss man also ein Messergebnis mit Messungenauigkeit wie
2 ± 2,93 = -0,93...4,93
lesen?
sind dann nur die vordefinierten Operator-Messwerte in diesem Bereich (2,3,4, vlt gerundet auch 5) oder sind alle reellen Zahlen in diesem Bereich -0,93...4,93 als mögliche Messwerte zu betrachten?

01.06.2020, 13:29

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RE: Matrix A mit Erwartungswerten; Messunsicherheiten
Mir ist nicht klar, warum 2,3,.. die einzigen Ereignisse sein sollen. A ist die Darstellung eines hermiteschen Operators bzgl. einer bestimmten Basis, sagen wir mal bzgl. der Orthonormalbasis $\begin{eqnarray*} b_1, b_2,\ldots ,b_n \end{eqnarray*}$ Dann ist $\begin{eqnarray*} <\sum \lambda_i b_i|A|\sum \lambda_i b_i>=\sum (i+1)|\lambda_i |^2 \end{eqnarray*}$ verwirrt

01.06.2020, 13:59

dsyleixa

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RE: Matrix A mit Erwartungswerten; Messunsicherheiten
nehmen wir an, der Operator/die Matrix hat als Einträge in der Diagonalen (als "Messergebnisse") die Summe der Augen beim Würfeln mit 2 Würfeln, und die q-Vektoren enthalten die Wahrscheinlichkeitsamplituden, dass die jeweiligen Ereignisse eintreten. Es sind also dann nur genau die Messwerte möglich, die in der Matrixdiagonalen aufgeführt sind.

01.06.2020, 14:34

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RE: Matrix A mit Erwartungswerten; Messunsicherheiten
Also ein quantenmechanisches System, das bei Messung in einen Eigenzustand kollabiert?
$\begin{eqnarray*} \Delta A \end{eqnarray*}$ ist die Standardabweichung, also ein Maß für die Abweichung vom Mittelwert.
Präpariert man das System immer wieder im Zustand $\begin{eqnarray*} |q> \end{eqnarray*}$ und misst A, wird man grob gesagt erwarten, am häufigsten Messwerte im Bereich $\begin{eqnarray*} <A>-\Delta A, <A>+\Delta A \end{eqnarray*}$ , hier also zwischen 7-2.93 und 7+2.93.
Da jede Messung aber einen Eigenwert liefert, erwartet man grob gesagt am häufigsten Werte 5,6,7,8,9. Die gemessene 2 wäre demnach als Ausreißer zu betrachten.

01.06.2020, 14:49

dsyleixa

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RE: Matrix A mit Erwartungswerten; Messunsicherheiten
gilt denn die Messunsicherheit nur für einen Bereich um den Erwartungswert herum (7 ± Messunsicherheit)?

Gilt die Messunsicherheit nicht auch um jeden einzelnen Messwert herum, quasi wie ein Konfidenzintervall (Messwert wi ± Messunsicherheit),
d.h.
in welchem Bereich ich zu jedem beliebigen Messwert noch einen vertrauenswürdigen Bereich habe, der innerhalb der Messunsicherheit nach oben und unten liegt, so dass dann der "echte" Wert, abweichend vom gemessenen Wert, tatsächlich gelegen haben kann?

Heißt: ich messe zwar eine 4, aber ich kann mich vermessen haben, und tatsächlich kann hier außer einer 4 auch eine 2,3,5 oder 6 vorgelegen haben.
In dem obigen Fall aber nicht 3,7 oder 5,2.

01.06.2020, 14:55

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RE: Matrix A mit Erwartungswerten; Messunsicherheiten
Die Standardabweichung sagt nur etwas über die Streuung der Werte um den Mittelwert aus, mehr nicht. Jedenfalls ist mir keine Interpretation geläufig, die deiner Vorstellung entspricht.

01.06.2020, 14:59

dsyleixa

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RE: Matrix A mit Erwartungswerten; Messunsicherheiten
Standardabweichung ja, aber die war hier ja nicht definiert, sondern nur der Erwartungswert und die Messunsicherheit.

Ich habe aber hier ja auch keinen Mittelwert (aus einer Serie von tatsächlichen Messexperimenten mit einer gewissen Streuung), sondern nur einen (theoretischen, stochastischen) Erwartungswert, der allerdings auch nur als 1 Faktor neben anderen zur Berechnung der Messunsicherheit benutzt worden ist.

Messunsicherheit aber bezieht sich auf eine jede Einzelmessung:
"Zu einem Messergebnis als Näherungswert für den wahren Wert einer Messgröße soll immer die Angabe einer Messunsicherheit gehören. Diese grenzt einen Wertebereich ein, innerhalb dessen der wahre Wert der Messgröße mit einer anzugebenden Wahrscheinlichkeit liegt" (Wiki)

01.06.2020, 15:26

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RE: Matrix A mit Erwartungswerten; Messunsicherheiten
In deinem Beispiel ist A die Zufallsvariable "Summe der Augenzahlen von zwei Würfeln", deren Verteilung ist im Wesentlichen in $\begin{eqnarray*} |q> \end{eqnarray*}$ beschrieben.
Die Varianz von A ist $\begin{eqnarray*} <A^2>-<A>^2 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} \Delta A \end{eqnarray*}$ die Wurzel aus der Varianz, also die Standardabweichung verwirrt

Was du Messunsicherheit nennst, ist die Standardabweichung.

Der Erwartungswert eines Operators A ist der durchschnittliche Wert der Messungen von A, die man an einer sehr großen Anzahl von identisch präparierten Systemen vornimmt, von denen jedes einzelne durch den Zustand $\begin{eqnarray*} |q> \end{eqnarray*}$ beschrieben wird (vgl. Bransden, Joachain, Introduction to quantum mechanics, p.88)

01.06.2020, 16:12

dsyleixa

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RE: Matrix A mit Erwartungswerten; Messunsicherheiten
der statistische Begriff "Standardabweichung" hat sicherlich irgendetwas mit der quantenmechanischen Definition "Erwartungswert" zu tun, nur dass eben die Standardabweichung aus einer Serie von Experimenten experimentell ermittet wird, während sich der Erwartungswert aus stochastischen Berechnung von theoretischen Ergebnishäufigkeiten ergibt.

Beispiel:
ich würfle bei Menschärgeredichnicht 10x mit 1 Würfel und notiere die Augenzahl
5 2 4 3 1 1 1 6 5 2
Summe: 30
stat. Mittelwert M : 30/10=3,0 (nicht (1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3,5) !!
Einzelabweichungen M-xi (Betrag) 2 1 1 0 2 2 2 3 2 1
Quadrate 4 2 2 0 4 4 4 9 4 1
Quadratsumme = 34
Standardabweichung:
$\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} |M-x_i|^2 } \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{10} 34 } = 1,84 \end{eqnarray*}$

Die stochastischen Einzelwahrscheinlichkeiten sind 1/6
Der Operator A wäre eine 6x6 Diagonalmatrix mit Werten von 1...6
Der quantenmechanische Erwartungswert <A> wäre
(1 + 2 + 3 + ... +6 ) * 1/6 = 3,5
Der Erwartungswert <A²> wäre
(1 + 4 + 9 + ... +36)*1/6 = 91/6 = 15,17
Die quantenmechanische Messunsicherheit
$\begin{eqnarray*} \Delta A = \sqrt{15,17 - 12,25} = 1,709 \end{eqnarray*}$

Hier sieht man, wie sich der praktische Wert von Mittelwert und Standardabweichung gegenüber Erwartungswert und Messunsicherheit unterscheiden können.

Dennoch gibt die Standardabweichung auch nur einen Bereich um den statistischen Mittelwert herum an,
während die Messunsicherheit ein Konfidenzintervall um jede Einzelmessung herum ist:

https://onlinelibrary.wiley.com/cms/asset/b20743bb-3682-4fd6-ac5e-ce931b0cdfac/mawe201900112-fig-0004-m.png

01.06.2020, 16:36

dsyleixa

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RE: Matrix A mit Erwartungswerten; Messunsicherheiten
Berichtigung,
ich kann oben schon wieder nicht mehr editieren
Richtig sollte es heißen:
"der statistische Begriff "Mittelwert" hat sicherlich irgendetwas mit der quantenmechanischen Definition "Erwartungswert" zu tun, nur dass eben der Mittelwert aus einer Serie von Experimenten experimentell ermittet wird, während sich der Erwartungswert nach dem obigen Beispiel aus der stochastischen Berechnung von theoretischen Ergebnishäufigkeiten ergibt."
Ähnliches gilt sicher auch für "Standardabweichung" vs. "Messunsicherheit".

egal aber, wie man nun die Messunsicherheit ermittelt:
wenn sie sich auf eine aktuelle Einzelmessung bezieht und man dadurch ein Konfidenzintervall erhält,
andererseits aber nur die diskreten Einzelwerte der Operatormatrix als Ergebnis möglich sind (2,3,4,...12),
wie ist dann ein Messergebnis "2" mit
2 ± 2,93 = -0,93...4,93
auszuwerten?
Hat man das Recht, das gesamte Intervall auf die ganzen Zahlen 2,3,4 zu beschneiden?
Oder muss man auch negative und gebrochene Zahlen zulassen und damit weiter arbeiten, aber was würde das über die mölichen "echten" Zustände bedeuten (denn eine Würfelsumme -0,4 oder +3,3 gibt es ja nicht)?

01.06.2020, 18:59

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RE: Matrix A mit Erwartungswerten; Messunsicherheiten
Warum auch immer du jetzt plötzlich den Mittelwert ins Spiel bringst... Als Erwartungswert der Gleichverteilung?

Weiter hast du für die Stichprobe 5 2 4 3 1 1 1 6 5 2 zwei Größen berechnet, die du dann als Schätzer verwenden willst?! Und ja, man kann Konfidenzintervalle für Schätzer (zu einem Konfidenzniveau) angeben und wenn ich mich recht erinnere, treten bei normalverteilten Zufallsvariablen Intervalle der Form $\begin{eqnarray*} [\bar x - 2\sigma/\sqrt n, \bar x + 2\sigma/\sqrt n] \end{eqnarray*}$ auf, und weil man $\begin{eqnarray*} \sigma ^2 \end{eqnarray*}$ nicht kennt, wird das durch die Standardabweichung der Stichprobe $\begin{eqnarray*} s^2=\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar x)^2 \end{eqnarray*}$ geschätzt. Vielleicht meinst du das, vielleicht auch nicht, deine Beiträge machen es für mich nicht klarer.

Wenn deine Zufallsvariable nur ganzzahlige Werte haben kann, dann kann sie nur ganzzahlige Werte haben - auch im Konfidenzintervall

01.06.2020, 20:11

dsyleixa

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RE: Matrix A mit Erwartungswerten; Messunsicherheiten

Zitat:

Original von URL
Warum auch immer du jetzt plötzlich den Mittelwert ins Spiel bringst... Als Erwartungswert der Gleichverteilung?

Nur weil DU ihn ins Spiel gebracht hast ;-)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Delta A \end{eqnarray*}$ ist die Standardabweichung, also ein Maß für die Abweichung vom Mittelwert.
Präpariert man das System immer wieder im Zustand |q> und misst A, wird man grob gesagt erwarten, am häufigsten Messwerte im Bereich ... zwischen 7-2.93 und 7+2.93.
Da jede Messung aber einen Eigenwert liefert, erwartet man grob gesagt am häufigsten Werte 5,6,7,8,9.
Die gemessene 2 wäre demnach als Ausreißer zu betrachten.
(...)
Die Standardabweichung sagt nur etwas über die Streuung der Werte um den Mittelwert aus, mehr nicht. Jedenfalls ist mir keine Interpretation geläufig, die deiner Vorstellung entspricht.

D.h., du wendest die Standardabweichung nur auf den Mittelwert bzw. den Erwartungswret an,
das ist aber nicht die Art und Weise, wie die Messunsicherheit verwendet wird, denn die wird auf jede einzelne Messung (jedes beliebige Messergebnis) angewendet.
Von daher haben Standardabweichung und Messunsicherheit unterschiedlichen Sinn und Zweck, und daher kann auch $\begin{eqnarray*} \Delta A \end{eqnarray*}$ nicht die Standardabweichung sein: es ist stattdessen die oben so definierte Messunsicherheit:

Zitat:

Die Unsicherheit $\begin{eqnarray*} \Delta A \end{eqnarray*}$ des hermiteschen Operators A ist gegeben durch
$\begin{eqnarray*} \Delta A = \sqrt{<A²> - <A>²} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wenn deine Zufallsvariable nur ganzzahlige Werte haben kann, dann kann sie nur ganzzahlige Werte haben - auch im Konfidenzintervall

das ist doch schon mal eine Aussage, das wollte ich vor allem wissen, vielen Dank!

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