Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion

31.05.2020, 16:22

Susanno95

Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion

Guten Tag zusammen,
Ich habe ne Frage zu meinen Aufgaben in der Funktionentheorie:

Aufgabe 1:
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathbb C \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ daraufhin, ob sie Realteil einer in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbaren Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb C \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ sein können und geben sie diese ggf an ( $\begin{eqnarray*} z=x+iy \in \mathbb C,x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

(a) $\begin{eqnarray*} a(z)=x^2-y^2 \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} b(z)=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$
(c) $\begin{eqnarray*} c(z)=x^3 \end{eqnarray*}$
(d) $\begin{eqnarray*} d(z)=e^xcos(y) \end{eqnarray*}$

Muss ich hier mit Cauchy-Riemannschen Gleichungen arbeiten also mit ( $\begin{eqnarray*} u_x=v_y und u_y=-v_x \end{eqnarray*}$ dabei sind es die partiellen Ableitungen nach x und y von u bzw v).
Die partiellen Ableitungen der Realteile wären ja :

(a) $\begin{eqnarray*} u_x=2x , u_y=-2y \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} u_x=2x , u_y=2y \end{eqnarray*}$
(c) $\begin{eqnarray*} u_x= 3x^2 ,u_y=0 \end{eqnarray*}$
(d) $\begin{eqnarray*} u_x=e^xcos(y),u_y=-e^xsin(y) \end{eqnarray*}$

aus (a) würde ja mit CR-Gleichung folgen das $\begin{eqnarray*} v_y=2x und v_x=2y \end{eqnarray*}$ daraus soll man dann gucken ob man eine Funktion v(x,y) den imaginärteil findet der dies erfüllt?

aus (b) folgt ja dann mit CR-Gleichungen $\begin{eqnarray*} v_y=2x ,v_x=-2y \end{eqnarray*}$ und wieder gucken welche funktion v(x,y) das erfüllen könnte?

aus (c) folgt mit CR- Gleichungen $\begin{eqnarray*} v_y=3x^2 ,v_x=0 \end{eqnarray*}$ und wieder welche v(x,y) funktion erfüllt dies?

aus (d) folgt $\begin{eqnarray*} v_y=e^xcosy , v_x=e^xsin(y) \end{eqnarray*}$ welches v(x,y) erfüllt dies?

Bin ich auf dem Richtigen Weg?

Aufgabe 2:

Sei $\begin{eqnarray*} G \subseteq \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein Gebiet und $\begin{eqnarray*} f=u+iv \in O(G) \end{eqnarray*}$ mit Real- bzw Imaginärteil u bzw v. Wann gilt u^2+iv^2 $\begin{eqnarray*} \in O(G) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} ((O(G) \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller im Bereich G holomorphen Funktionen)

hier habe ich überhaupt keine Ahnung.... Kann wir mir da Tipps geben?

Vielen Dank schonmal...

01.06.2020, 09:11

Ulrich Ruhnau

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RE: Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion
Ich beantworte jetzt nur den ersten Teil.

Man nehme die Definitionen $\begin{eqnarray*} z=x+iy,\quad\bar z=x-iy \end{eqnarray*}$ und drücke $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar z \end{eqnarray*}$ aus!

01.06.2020, 11:43

Huggy

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RE: Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion

Zitat:

Original von Susanno95
aus (a) würde ja mit CR-Gleichung folgen das $\begin{eqnarray*} v_y=2x und v_x=2y \end{eqnarray*}$ daraus soll man dann gucken ob man eine Funktion v(x,y) den imaginärteil findet der dies erfüllt?

Genau. Mach das mal. Und dann bei b), c), d) analog. Das ist der richtige Ansatz. Dagegen ist mir völlig unklar, wie Ulrich mit seinem Vorschlag zum Ziel kommen will.

Bei 2) sollten man ebenfalls die CR-Differentialgleichungen benutzen.

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