C^2 ein Vektorraum oder nicht

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Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »
C^2 ein Vektorraum oder nicht
Meine Frage:
Hallo, Freunde der Vektorräume!
Ich habe in diesem Buch folgende Aussage:
"[F] ür jeden Körper und jede natürliche Zahl [ist] die Menge mit komponentenweiser Addition und Multiplikation mit Skalaren ein -Vektorraum."
Auf der nächsten Seite wird allerdings gezeigt, dass keine Vektorräume sind.
Was stimmt nun?

~ angentialvektor

Meine Ideen:
.
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RE: C^2 ein Vektorraum oder nicht
Die erste Aussage ist richtig.
Um etwas zur zweiten sagen zu könne, muss du schon genauer werden, z.B. welche Verknüpfungen da benutzt werden und wie gezeigt wird, dass es keine VR sind.
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: C^2 ein Vektorraum oder nicht
Es geht mir nicht darum, wie das konkret bewiesen wird, sondern, ob es sich denn nicht widerspricht. Im ersten Satz sind es Vektorräume, dann aber wieder nicht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es stimmt beides. ist eine Menge, also kein Vektorraum. mit den richtigen Operationen ist ein Vektorraum über .
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du es mir so direkt in's Gesicht wirfst.
Ich habe bis jetzt noch gar nicht auf die Operationen geachtet. Die Beispiele für die "Fastvektorräume" waren mit anders definierten Skalarmultiplikation konstruiert.
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: C^2 ein Vektorraum oder nicht
Zitat:
Original von Tangentialvektor
Es geht mir nicht darum, wie das konkret bewiesen wird, sondern, ob es sich denn nicht widerspricht. Im ersten Satz sind es Vektorräume, dann aber wieder nicht.

Darum sollte es dir aber gehen, denn dann kannst du verstehen, was da genau passiert.
 
 
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: C^2 ein Vektorraum oder nicht
ich habe einmal fast die gleiche Frage gestellt:
nach meinem seitdem eigenen und zugegeben eingeschränkten Verständnis rechnest du in Körpern mit einfachen Zahlen (Skalare) (Verknüpfungen Addition, Multiplikation, jew. neutrale Elemente) und den Rechenregeln für Körper.
In Vektorräumen brauchst du auch Verknüpfungen für die Vektoren untereinander (Vektoraddition, Skalarprodukt, neutrale (Vektor-) Elemente) auch mit bestimmten Rechenregeln (z.B. V mit Vektoraddition: abelsche Gruppe).
https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Definition

sind nur Mengen von nackten "Zahlen", die man addieren und multiplizieren kann (auch wenn isomorph zum ist, aber eben ohne Vektor-Verknüpfungen), daher verstehe ich z.B. zunächst nur als Körper, nicht als Vektorraum.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: C^2 ein Vektorraum oder nicht
Zitat:
Original von dsyleixa
auch wenn isomorph zum ist, aber eben ohne Vektor-Verknüpfungen

Wie ist das gemeint? Die Isomorphie besteht im Sinne von -Vektorräumen.
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: C^2 ein Vektorraum oder nicht
Aber wie erkenne ich denn bitte, was ein Vektor ist, und was nicht?
Zum Beispiel: ist ein Skalar, aber ist ein Vektor. So ganz versteh' ich das nicht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist ein Körper, die Elemente der Menge sind Zahlen.
ist ein komplexer Vektorraum, die Elemente der 1. Menge sind Vektoren, die Elemente der 2. Menge sind Skalare.
Die Addition ist in beiden Strukturen dieselbe.
Die Multiplikation und die Skalarmultiplikation unterscheiden sich nur dadurch, dass man bei der Skalarmultiplikation als Zahl und als Vektor auffasst.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich mich recht erinnere, werden komplexe Zahlen multipliziert per
z1 = (x1 + i·y1)
z2 = (x2 + i·y2)
z1 · z2 = (x1 + i·y1) · (x2 + i·y2) = x1·x2 + i·y2·x1 + x2·i·y1 +i²·y1·y2

2 Vektoren aus dem Vektorraum V² über einem Körper V(+,·) werden multipliziert per
z1=(x1,y1)
z2=(x2,y2)
z1 · z2 = <z1,z2> = x1·x2 + y1·y2

bzw. aus V³
z1=(x1,y1,w1)
z2=(x2,y2,w2)
z1 · z2 = <z1,z2> = x1·x2 + y1·y2 + w1·w2
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vektoren eines Vektorraums kann man nicht miteinander multiplizieren. Multiplikation in einem Vektorraum ist nicht möglich. Multiplikation bedeutet, dass das Produkt von zwei Elementen einer Menge wieder ein Element der Menge ist. Das trifft weder auf ein skalares Produkt noch auf ein Skalarprodukt zu.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

wieso kann man sie nicht multiplizieren?
hier ist doch die Skalarmultiplikation als Multiplikation definiert, daneben gäbe es noch das Kreuzprodukt!

siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Definition, insb Skalarmultiplikation

Aber ok, ich klinke mich hier aus...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Vektorraum ist eine algebraische Struktur mit den entsprechenden Regeln. Nur wenn man zusätzliche Operationen mit weiteren Regeln einführt, kann man diese betrachten. Das geht nicht immer, und wenn es geht, dann ist es meistens nicht eindeutig. Zum Beispiel gibt es in euklidischen oder unitären Vektorräumen viele verschiedene Skalarprodukte. Zum Beispiel gibt es viele äußere Produkte, unter anderem Tensorprodukte oder das sehr spezielle Kreuzprodukt.
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