Gleichung zur Jacobimatrix zeigen

31.05.2020, 22:21	AnnaMarie99	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung zur Jacobimatrix zeigen Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} f: R^n \rightarrow R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \in R^{n x n} \end{eqnarray}$ . Sei ferner $\begin{eqnarray} g: R^n \rightarrow R \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} g(x) := f(Ax) \end{eqnarray}$ gegeben. Zeigen sie für alle $\begin{eqnarray} x \in R^n \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \nabla g(x) = A^T \nabla f(Ax) \end{eqnarray}$ . Hier identifizieren wir A mit der bezüglich der kanonischen Basis induzierten linearen Abbildung Meine Ideen: Hey, Ich weiß leider nicht genau wie ich das zeigen soll. So wie g definiert ist, ist die Aussage ja äquivalent zu $\begin{eqnarray} \nabla f(Ax) = A^T \nabla f(Ax) \end{eqnarray}$ was mit irgendwie komisch vorkommt. Es wäre nett, könnte mir jemand einen Tipp geben oder etwas genauer auf die Aufgabenstellung eingehen. edit: mit R mein ich die reellen Zahlen Vielen Dank schon mal im voraus
31.05.2020, 22:58	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst den Gradienten einer verketteten, skalare Funktion $\begin{eqnarray} f[\vec y(\vec x)] \end{eqnarray}$ berechnen, deren "innere" Funktion $\begin{eqnarray} \vec y(\vec x) \end{eqnarray}$ eine lineare Vektorfunktion ist. Ich zeige die Rechnung für die Dimension n=2: Gegeben ist also die Funktion $\begin{eqnarray} f[y_1(x_1,x_2),y_2(x_1,x_2)] \end{eqnarray}$ . Der Gradient lautet gemäß Kettenregel (wobei die innere Funktion zunächst noch beliebig sein kann - also nicht notwendig linear sein muss) $\begin{eqnarray} \nabla f=\begin{pmatrix} \tfrac{\partial f}{\partial y_1}\tfrac{\partial y_1}{\partial x_1}+\tfrac{\partial f}{\partial y_2}\tfrac{\partial y_2}{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial f}{\partial y_1}\tfrac{\partial y_1}{\partial x_2}+\tfrac{\partial f}{\partial y_2}\tfrac{\partial y_2}{\partial x_2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ____________________Formel () Speziell in deinem Falle ist die inner Funktion linear. Sie lautet also $\begin{eqnarray} \vec y(\vec x)=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}}_{\text{Matrix }A}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A_{11}x_1+A_{12}x_2 \\ A_{21}x_1+A_{2}x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daraus folgt für die "inneren" Ableitungen $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial y_1}{\partial x_1}=A_{11} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial y_1}{\partial x_2}=A_{12} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial y_2}{\partial x_1}=A_{21} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial y_2}{\partial x_2}=A_{22} \end{eqnarray}$ Einsetzen dieser inneren Ableitungen in Formel () liefert $\begin{eqnarray} \nabla f=\begin{pmatrix} \tfrac{\partial f}{\partial y_1}A_{11}+\tfrac{\partial f}{\partial y_2}A_{21} \\ \tfrac{\partial f}{\partial y_1}A_{12}+\tfrac{\partial f}{\partial y_2}A_{22} \end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{pmatrix}}_{A^T}\begin{pmatrix} \tfrac{\partial f}{\partial y_1} \\ \tfrac{\partial f}{\partial y_2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist der Beweis. Die Rechnung läuft analog für beliebige Dimensionen n.
01.06.2020, 08:06	AnnaMarie99	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die ausführliche Antwort

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