Primzahlzwillinge

01.06.2020, 10:38	Borborhad	Auf diesen Beitrag antworten »
Primzahlzwillinge Ich hab versucht zu beweisen, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt und wollte euere Meinung zu dem Beweis wissen. Der Beweis: Sei $\begin{eqnarray} p_1,p_2,p_3,\dots,p_n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ die ersten $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Primzahlen. Sei weiter $\begin{eqnarray} p_z \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} p_{z+1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} z \in \{1,\dots, n-1\} \end{eqnarray}$ der größte existierende Primzahlzwilling. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, können wir o.B.d.A. annehmen, es gelte $\begin{eqnarray} p_n >> p_{z+1} \end{eqnarray}$ . Lemma 0.1. Zahlen der Form $\begin{eqnarray} z_0 = (p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2} \cdot p_3^{x_3}\dots p_z^{x_z}\cdot p_{z+1}^{x_{z+1}} \cdots p_n^{x_n}) \pm (1^{y_0} \cdot p_{n+1}^{y_1} \cdot p_{n+2}^{y_2} \cdots p_{n+m}^{y_m}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_i \ge 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_i \ge 0 \end{eqnarray}$ sind entweder prim oder zusammengesetzt aus Primzahlen, die größer $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ sind. Gilt $\begin{eqnarray} p_n \le z_0 \le p_n^2 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ prim. Beweis. Aus der Differenz kann man keine Primzahlen $\begin{eqnarray} p_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k \le n \end{eqnarray}$ ausklammern. Angenommen $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ läge zwischen $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_n^2 \end{eqnarray}$ und wäre zusammengesetzt, dann wäre ein Primfaktor kleiner als $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ . Dies ist im Widerspruch zur der Tatsache, dass kein $\begin{eqnarray} p_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k \le n \end{eqnarray}$ die Zahl $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ teilt. (Anmerkung: Dies kann man als Verallgemeinerung des Beweises von Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, sehen). Lemma 0.2. Sei $\begin{eqnarray} z_2 = (p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2} \cdot p_3^{x_3}\cdots p_n^{x_n}) - (p_{n+1}^{y_1} \cdot p_{n+2}^{y_2} \dots p_{n+m}^{y_m})+2 \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} x_i \ge 1, y_i \ge 0 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} z_2 \end{eqnarray}$ prim, wenn $\begin{eqnarray} p_n < z_2 < p_n^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_1, p_2, \cdots, p_n \nmid -(p_{n+1}^{y_1} \cdot p_{n+2}^{y_2} \cdots p_{n+m}^{y_m})+2 \end{eqnarray}$ . Beweis. Analog zu Lemma 0.1. Lemma 0.3. Sei $\begin{eqnarray} p_{n+x} \end{eqnarray}$ eine Primzahl mit $\begin{eqnarray} p_n < p_{n+x} < p_n^2 \end{eqnarray}$ . Es existiert genau dann von $\begin{eqnarray} p_{n+x} \end{eqnarray}$ die Form $\begin{eqnarray} p_{n+x} = (p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2} \cdot p_3^{x_3}\cdots p_n^{x_n}) - (1^{y_0} \cdot p_{n+1}^{y_1} \cdot p_{n+2}^{y_2} \cdots p_{n+m}^{y_m}) + 2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_i \ge 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_i \ge 0 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} 2\cdot p_{n+1}^{e_1}\cdots p_{n+m}^{e_m} - p_{n+1}^{y_1} \cdots p_{n+m}^{y_m} = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e_i \ge 0 \end{eqnarray}$ . Beweis. Wir nutzen hierbei bei (1) aus, dass man nach dem Primzahlbeweis von Euklid, aus $\begin{eqnarray} (p_1^{x_1} \cdot p_2^{x_2} \cdot p_3^{x_3}\cdots p_n^{x_n} + 1) = p_{n+1}^{e_1} \cdots p_{n+m}^{e_m} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_i \ge 1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} e_i \ge 0 \end{eqnarray}$ eine größere Primzahl, bzw. ein Produkt aus größeren Primzahlen erhält. $\begin{eqnarray} p_{n+x} &= (p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2} \cdot p_3^{x_3}\cdots p_n^{x_n}) - (1^{y_0} \cdot p_{n+1}^{y_1} \cdot p_{n+2}^{y_2} \cdots p_{n+m}^{y_m}) + 2 \\& = (p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2} \cdot p_3^{x_3}\cdots p_n^{x_n}) + 2 - (1^{y_0} \cdot p_{n+1}^{y_1} \cdot p_{n+2}^{y_2} \cdots p_{n+m}^{y_m}) \\& = 2 \cdot (p_1^{x_1} \cdot p_2^{x_2} \cdot p_3^{x_3}\cdots p_n^{x_n} + 1) - (1^{y_0} \cdot p_{n+1}^{y_1} \cdot p_{n+2}^{y_2} \cdots p_{n+m}^{y_m})\\& \overset{(1)}{=} 2 \cdot p_{n+1}^{e_1}\cdots p_{n+m}^{e_m} - p_{n+1}^{y_1} \cdots p_{n+m}^{y_m} \\ & \overset{(2)}{=} 2 \cdot p_{n+1}^{e_1}\cdots p_{n+x}^{e_x} \cdots p_{n+m}^{e_m} - p_{n+1}^{y_1} \cdots p_{n+x}^{y_x} \cdots p_{n+m}^{y_m} \\ & \overset{(3)} = p_{n+x} ( 2 \cdot p_{n+1}^{e_1}\cdots p_{n+x}^{e_x-1} \cdots p_{n+m}^{e_m} - p_{n+1}^{y_1} \cdots p_{n+x}^{y_x-1} \cdots p_{n+m}^{y_m}) \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} p_{n+x} \end{eqnarray}$ prim ist, muss bei (2) gelten, dass $\begin{eqnarray} e_x=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_x > 1 \end{eqnarray}$ , oder $\begin{eqnarray} e_x>1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_x = 1 \end{eqnarray}$ , und bei (3), dass $\begin{eqnarray} 2\cdot p_{n+1}^{e_1}\cdots p_{n+m}^{e_m} - p_{n+1}^{y_1} \cdots p_{n+m}^{y_m} = 1 \end{eqnarray}$ . Lemma 0.4. Sei $\begin{eqnarray} z_1 = z_2 - 2 = (p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2} \cdot p_3^{x_3}\cdots p_z^{x_z}\cdot p_{z+1}^{x_{z+1}} \cdots p_n^{x_n}) - (p_{n+1}^{y_1} \cdot p_{n+2}^{y_2} \cdots p_{n+m}^{y_m}) \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} x_i \ge 1, y_i \ge 0 \end{eqnarray}$ . Es gilt $\begin{eqnarray} p_n < z_1 < z_2 < p_n^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ ist prim. Beweis. Siehe Lemma 0.1. Lemma 0.5. $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_2 \end{eqnarray}$ sind ein größeres Primzahlzwillingspaar als $\begin{eqnarray} p_{z} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_{z+1} \end{eqnarray}$ , da Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} 2\cdot p_{n+1}^{e_1}\cdots p_{n+m}^{e_m} - p_{n+1}^{y_1} \cdots p_{n+m}^{y_m} = 1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} e_i \ge 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y_i \ge 0 \end{eqnarray}$ für Primzahlen größer $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ existieren. Beweis. Stellt man die Gleichung um zu $\begin{eqnarray} 2\cdot p_{n+1}^{e_1}\cdots p_{n+m}^{e_m} - 1 = p_{n+1}^{y_1} \cdots p_{n+m}^{y_m} \end{eqnarray}$ kann man zeigen, dass die ungerade Zahl $\begin{eqnarray} u = 2\cdot p_{n+1}^{e_1}\cdots p_{n+m}^{e_m} - 1 \end{eqnarray}$ auch eine Primzahl oder ein Produkt von Primzahlen grösser $\begin{eqnarray} p_{n} \end{eqnarray}$ sein kann. Zerfällt beispielsweise $\begin{eqnarray} p_{n+1}^{e_1}\cdots p_{n+m}^{e_m} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} p_1^{x_1-a_1} \cdot p_2^{x_2-a_2} \cdot p_3^{x_3-a_3}\cdots p_n^{x_n-a_n }+1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_i - a_i \ge 1 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} u = p_1^{x_1-a_1+1} \cdot p_2^{x_2-a_2} \cdot p_3^{x_3-a_3}\cdots p_n^{x_n-a_n}+1 = p_{n+1}^{y_1} \cdots p_{n+m}^{y_m} \end{eqnarray}$ . Lemma 0.6. Es existiert immer ein größeres Primzahlzwillingpaar. Beweis. Nach Konstruktion sind $\begin{eqnarray} z_1, z_2 \end{eqnarray}$ prim, $\begin{eqnarray} z_1 + 2 = z_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_z < p_{z+1} < z_1 < z_2 \end{eqnarray}$ . Damit existiert immer ein größeres Primzahlzwillingspaar und widerspricht der Annahme, $\begin{eqnarray} p_z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_{z+1} \end{eqnarray}$ seien das größte Primzahlzwillingspaar.
01.06.2020, 10:49	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Primzahlzwillinge vgl: https://de.wikiversity.org/wiki/Mathemat...g/Textabschnitt

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