Erwartungswert und Varianz

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Lucas13 Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert und Varianz
Meine Frage:
Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X und die Funktion definiert durch:
, wobei c eine Konstante ist.
Berechnen Sie E(X) und V(X).

Meine Ideen:
Ich habe zuert die Konstante c bestimmt, so dass die Funktion eine Dichtefunktion ist. Für c habe ich 3/4 raus. Dann habe ich versucht, den Erwartungswert über folgende Definition zu bestimmen: . Für den Erwartungswert erhalte ich dann 0. Ist das richtig? Ich weiß gerade nicht, wie ich das Ergebnis interpretieren soll.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert und Varianz
Zitat:
Original von Lucas13
Für den Erwartungswert erhalte ich dann 0. Ist das richtig? Ich weiß gerade nicht, wie ich das Ergebnis interpretieren soll.

Das ist richtig. Man sieht das auch ohne Rechnung aus der Dichtefunktion. Diese ist symmetrisch zu Null, d. h. es gilt . Die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Wert ist genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit für den entsprechenden negativen Wert. Also muss der Erwartungswert Null sein.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert und Varianz


Bei dieser Häufigkeitsverteilung ist doch klar, daß der Erwartungswert null ist. Augenzwinkern
Lucas13 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert und Varianz
Danke. Die 0 hat mich im ersten Moment etwas irritiert.
Wenn ich jetzt beispielsweise noch die Varianz berechnen würde, dann erhalte ich 1/5. Die Varianz berechnet sich ja wie folgt: . Da E(X) = 0 ist, muss ich nur noch betrachten.

Ich soll dann noch und . Ist das nicht zweimal das Gleiche?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert und Varianz
Zitat:
Original von Lucas13
Ich soll dann noch und . Ist das nicht zweimal das Gleiche?

Nein. Deshalb wird ja so eine Aufgabe gestellt. Das erste ist eine unbedingte Wahrscheinlichkeit, das zweite eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

Nun kannst du einfach die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit hernehmen und siehst dann, dass etwas anderes herauskommt. Für das Verständnis des Unterschieds mag es nützlich sein, sich vorzustellen, wie man die beiden Wahrscheinlichkeiten näherungsweise mit einer Simulation bestimmen würde. Man würfelt die Zufallsgröße mit der gegebenen Dichtefunktion z. B 1000 mal aus . Es sei die Zahl der Werte in . Der Schätzwert für die unbedingte Wahrscheinlichkeit ist dann



Für die bedingte Wahrscheinlichkeit würde man als Gesamtzahl der Fälle aber nur die Fälle betrachten, die die Bedingung erfüllen, also sind. Das werden nur Fälle sein. Der Schätzwert für die bedingte Wahrscheinlichkeit ist

Lucas13 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert und Varianz
Danke für deine ausführliche Antwort. Ich habe mir schon gedacht, dass es nicht das gleiche ist. Für die unbedingte Wahrscheinlichkeit habe ich 0,6875 raus. Aber bei der bedingten Wahrscheinlichkeit tu ich mich irgendwie immer noch etwas schwer. Ich weiß nicht so richtig was ich einsetzen soll. Könntest du mir da vielleicht etwas helfen?
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert und Varianz
Zitat:
Original von Lucas13
Für die unbedingte Wahrscheinlichkeit habe ich 0,6875 raus.

Passt.

Zitat:
Aber bei der bedingten Wahrscheinlichkeit tu ich mich irgendwie immer noch etwas schwer. Ich weiß nicht so richtig was ich einsetzen soll. Könntest du mir da vielleicht etwas helfen?

Die bedingte Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis unter der Bedingung, dass das Ereignis eingetreten ist, ist definiert als



Bei deiner Aufgabe ist und . Also



Was bedeutet nun )? Es bedeutet in Worten: muss größer sein und muss kleiner/gleich sein. Ist jetzt klar, was wo einzusetzen ist?
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