Existiert das Lebesgue-Integral? |
01.06.2020, 18:17 | mcR2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Existiert das Lebesgue-Integral? Hallo ich will zeigen, dass das Lebesgue-Integral von nicht existiert. Kann ich wie folgt argumentieren: Meine Ideen: |
||||
01.06.2020, 21:42 | Namenloser324 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso sollte es nicht existieren? Du meinst offenbar den Betrag von sin(x)/x. Idee (ohne Garantie, habs nicht durchgerechnet): 1) Zerlege [pi, unendlich) in Intervalle der Form [k*pi,(k+1)*pi) 2) Schreibe 3) Nutze den Mittelwertsatz der Integralrechnung (der sollte auch für das Lebesgueintegral gelten) auf die Teilintervalle an: 4) Die Integrale über den Sinus sind immer gleich. 5) Harmonische Reihe Fertig. edit: Ups, da fehlt jeweils der Betrag um den Integranden. |
||||
02.06.2020, 11:20 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mcR2 hat durchaus Recht: Dieses Integral existiert als Lebesgue-Integral betrachtet tatsächlich nicht: Jedes Riemann-Integral existiert auch als Lebesgue-Integral, ja. Das trifft aber nicht auf jedes uneigentliche Riemann-Integral zu, so auch nicht auf das vorliegende: Lebesgue-Integierbarkeit erfordert die Integrierbarkeit sowohl von Positiv- als auch Negativteil, d.h. für und . Im vorliegenden Fall kommt bei beiden Integralen jedoch heraus. Und ja, Forderung (*) ist tatsächlich äquivalent zu . Außerdem enthält deine Abschätzung 3) wunde Punkte: Die fehlenden Betragszeichen meine ich dabei gar nicht, sondern die Abschätzung von nach unten im diesem Intervall: Die lautet nämlich nicht , sondern , d.h., richtig lautet die Zeile . |
||||
02.06.2020, 11:52 | Namenloser324 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hast du recht, vielen Dank für die Korrektur! [quote] Dieses Integral existiert als Lebesgue-Integral betrachtet tatsächlich nicht [\quote] Interessant, auch hier danke für die Erläuterung! |
||||
02.06.2020, 15:35 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist generell bei solchen existenten uneigentlichen Riemann-Integralen mit zu konstatieren: Es sind zwar alle Funktionen Lebesgueintegrierbar, und es existiert auch der Grenzwert , aber das Lebesgueintegral selbst existiert nicht. Der Satz von der monotonen Konvergenz o.ä. ist hier der fehlenden Positivität von bzw. auch fehlender Monotonie wegen natürlich nicht anwendbar. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|