Existiert das Lebesgue-Integral?

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mcR2 Auf diesen Beitrag antworten »
Existiert das Lebesgue-Integral?
Meine Frage:
Hallo ich will zeigen, dass das Lebesgue-Integral von

nicht existiert.
Kann ich wie folgt argumentieren:

Meine Ideen:
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte es nicht existieren? Du meinst offenbar den Betrag von sin(x)/x.
Idee (ohne Garantie, habs nicht durchgerechnet):
1) Zerlege [pi, unendlich) in Intervalle der Form [k*pi,(k+1)*pi)
2) Schreibe
3) Nutze den Mittelwertsatz der Integralrechnung (der sollte auch für das Lebesgueintegral gelten) auf die Teilintervalle an:

4) Die Integrale über den Sinus sind immer gleich.
5) Harmonische Reihe

Fertig.

edit: Ups, da fehlt jeweils der Betrag um den Integranden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Namenloser324
Wieso sollte es nicht existieren?

mcR2 hat durchaus Recht: Dieses Integral existiert als Lebesgue-Integral betrachtet tatsächlich nicht:

Jedes Riemann-Integral existiert auch als Lebesgue-Integral, ja. Das trifft aber nicht auf jedes uneigentliche Riemann-Integral zu, so auch nicht auf das vorliegende:

Lebesgue-Integierbarkeit erfordert die Integrierbarkeit sowohl von Positiv- als auch Negativteil, d.h.

für und .

Im vorliegenden Fall kommt bei beiden Integralen jedoch heraus.


Und ja, Forderung (*) ist tatsächlich äquivalent zu .


Außerdem enthält deine Abschätzung 3) wunde Punkte: Die fehlenden Betragszeichen meine ich dabei gar nicht, sondern die Abschätzung von nach unten im diesem Intervall: Die lautet nämlich nicht , sondern , d.h., richtig lautet die Zeile

.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du recht, vielen Dank für die Korrektur!

[quote] Dieses Integral existiert als Lebesgue-Integral betrachtet tatsächlich nicht [\quote]
Interessant, auch hier danke für die Erläuterung!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist generell bei solchen existenten uneigentlichen Riemann-Integralen mit zu konstatieren:

Es sind zwar alle Funktionen Lebesgueintegrierbar, und es existiert auch der Grenzwert , aber das Lebesgueintegral selbst existiert nicht.

Der Satz von der monotonen Konvergenz o.ä. ist hier der fehlenden Positivität von bzw. auch fehlender Monotonie wegen natürlich nicht anwendbar.
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