Eigenschaft von cosh

02.06.2020, 00:20

elwe

Eigenschaft von cosh

Meine Frage:
Hallo liebes Forum,

ich bereite mich gerade auf mein mündliches Abi vor und bin total überfordert mit Teilaufgabe c):

Aufgabe a) Kurvendiskussion von sinh und cosh
Aufgabe b) Integral von $\begin{eqnarray*} \int_{-k}^{k} \! 1+ sinh^2(x) \, dx \end{eqnarray*}$ berechnen, wobei ich $\begin{eqnarray*} cosh^2(x)-sinh^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ benutzen darf. Ich erhalte
$\begin{eqnarray*} \int_{-k}^{k} \! 1+ sinh^2(x) \, dx = 2 sinh(k) \end{eqnarray*}$

Aufgabe c)
Der Wert des Integrals in b) beschreibt eine Eigenschaft des Graphen von cosh(x). Nenne die Eigenschaft und begründe die Antwort.

Meine Ideen:
Was glaubt ihr, meint sie damit? Dass sinh(x) die Stammfunktion von cosh(x) ist? Oder hat das was mit $\begin{eqnarray*} cosh^2(x)-sinh^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ zu tun? Ich steh echt voll aufm schlauch...

Danke schon mal für eure Hilfe!

02.06.2020, 07:28

willyengland

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Fläche unter der Kurve?

02.06.2020, 08:08

Leopold

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Kann es sein, daß da eine Wurzel unterschlagen wurde? Also

$\begin{align*} \int_{-k}^k \sqrt{1+ \sinh^2(x)} ~ \dd x \end{align*}$ ?

Denn dann würde auch dein Integralwert passen. Für das angegebene Integral ist er jedenfalls falsch.
Und was die Interpretation dieses Integrals (das mit der Wurzel) angeht, denke ich an

$\begin{align*} \int_a^b \sqrt{1 + \left( f'(x) \right)^2} ~ \dd x \end{align*}$

worunter das Integral mit $\begin{align*} f(x) = \cosh(x) \end{align*}$ fällt. Sagt dir dieser Ausdruck etwas?

02.06.2020, 08:09

Huggy

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RE: Eigenschaft von cosh

Zitat:

Original von elwe
Ich erhalte
$\begin{eqnarray*} \int_{-k}^{k} \! 1+ sinh^2(x) \, dx = 2 sinh(k) \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht. Es wäre richtig, wenn es um

$\begin{eqnarray*} \int_{-k}^{k} \! \sqrt {1+ sinh^2(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

ginge.

02.06.2020, 09:49

elwe

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RE: Eigenschaft von cosh
Entschuldige ja, es geht um $\begin{eqnarray*} \int_{-k}^{k} \! \sqrt{ 1 + sinh^2(x) } \, dx \end{eqnarray*}$ .

@Leopold:
Mir sagt der Ausdruck gar nichts. Gibt es dazu einen passenden Satz?

@willyengland:
Ich versteh schon, dass das Integral die Fläche unter dem Graphen beschreibt. Aber wieso ist es denn so kompliziert formuliert mit "Eigenschaft"?

02.06.2020, 09:52

Leopold

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Schau hier.

02.06.2020, 10:11

elwe

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Also weiß ich damit, dass die Länge des Graphen von der cosh Funktion zwischen -k und k also 2sinh(k) ist. Ist das etwas besonderes? Wir haben uns noch nie mit Längen von Graphen beschäftigt

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