Banachscher Fixpunktsatz und Kontraktion?

03.06.2020, 11:45	laienstefan	Auf diesen Beitrag antworten »
Banachscher Fixpunktsatz und Kontraktion? Hi! Bei folgenbder Aufgabe komme ich nicht weiter a) Zeigen Sie, dass die Gleichung x = 1 - sin(x) genau eine Lösung in [0,1] besitzt. b) Formulieren Sie ein numerisches Verfahren zur Lösung und weisen Sie dessen Konvergenz nach. Machen Sie auch eine Aussage zur Konvergenzgeschwindigkeit des Verfahrens. a) Hier würde ich den Banachschen Fixpunktsatz nehmen. Wäre der erfülllt, gäbe es einen eindeutigen Fixpunkt im Definitionsgebiet. Also die Kriterien: 1) [0,1] ist nicht leer und abgeschlossen - erfüllt 2) Selbstabbildung: f(x) = 1 - sin(x) ist eine Selbstabbildung, da $\begin{eqnarray} 1-sin(1) =0.1583 \leq 1 - sin(x) \leq 1-sin(0) =1 \end{eqnarray}$ und die Funktion auf dem Intervall streng monoton fallend ist, d. h. die Funktionswerte an den Intervallgrenzen sind die Extremwerte und die sind in der Definitionsmenge - erfüllt 3) Kontraktion: Lipschitz-Konstante L<1? $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(y)\| \leq L \|x-y\| \Rightarrow \frac{\|f(x)-f(y)\|}{\|x-y\|} \leq L = max_{\lambda \in [0,1]} \|(f'(\lambda )\| = max_{\lambda \in [0,1]} \|-cos(\lambda )\| = 1 \end{eqnarray*}$ Es dürfte also keine Kontraktion sein. Nun geht ja m. W. der Fixpunktsatz nur in eine Richtung, d. h. er macht keine Aussage dazu, ob es einen Fixpunkt (auch einen eindeutigen) geben kann, obwohl keine Kontraktion vorliegt. Wenn man x=f(x) hier plottet, sieht man ja auch einen Fixpunkt. Bedeutet die fehlende Kontraktion also nur, dass ich die Lösung nicht mit der Fixpunktiteration berechnen kann? Wie könnte ich also a) beantworten? Der Banachsche Satz hilft ja schon einmal nicht. Zu b) - da gäbe es wohl 2 typische Verfahren - Fixpunktiteration, oder sagt der nicht erfüllte Banachsche Satz, dass ich die nicht verwenden kann? - Newtonverfahren, dort ist die Voraussetzung m. W. nur stetige Differenzierbarkeint und die Ableitung darf nicht 0 werden, da sonst 0 im Nenner steht. Die Geschwindigkeit des Verfahrens wäre wohl dessen Konvergenzordnung. Dazu habe ich gefunden, dass ein Verfahren Konvergenzordnung p hat, wenn es den Banachschen FP-Satz erfüllt und p+1 mal differenzierbar ist. Hier stolpere ich also wieder über die fehlende Kontraktion. Könnt ihr mir bitte auf de Sprünge helfen? LG
03.06.2020, 12:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die Funktion $\begin{align} y = \varphi(x) = 1 - \sin(x) \end{align}$ im Intervall $\begin{align} [0,1] \end{align}$ streng monoton fällt, schneidet ihr Graph die Winkelhalbierende $\begin{align} y=x \end{align}$ genau einmal. Damit besitzt die Gleichung $\begin{align} x = \varphi(x) \end{align}$ genau eine Lösung in $\begin{align} I \end{align}$ . Und du kannst die durchaus mit dem Banachschen Fixpunktsatz bestimmen. Du brauchst ihn ja nicht auf ganz $\begin{align} I \end{align}$ anzuwenden, sondern kannst $\begin{align} I \end{align}$ verkleinern, so daß im kleineren Intervall alle Voraussetzungen erfüllt sind. Allerdings geht es bei dieser Fixpunktiteration ziemlich gemütlich zu. Man könnte auch folgendermaßen vorgehen: $\begin{align} x = 1 - \sin(x) \end{align}$ $\begin{align} \frac{1}{2}x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sin(x) \end{align}$ $\begin{align} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin(x) \end{align}$ Und mit $\begin{align} \psi(x) = \frac{1}{2} \left( 1 + x - \sin(x) \right) \end{align}$ ist das schon deutlich mehr Turbo.

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