inf-sup Bedingung

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03.06.2020, 17:21	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
inf-sup Bedingung Hallo! Ich hänge fest: wo liegt mein Denkfehler? Es geht um die diskrete inf-sup Bedingung. $\begin{eqnarray} min_{q \neq 0} max_{v \neq 0} \frac{v^T B q}{\\| v \\| \\| q \\|} = min_{\\| q \\| = 1} max_{\\|v \\| = 1} v^T B q = min_{\\| q \\| = 1} \|Bq\| \end{eqnarray}$ Irgendwie kann das nicht sein, aber ich weiß nicht, was ich falsch mache. Wäre dankbar über jede Hilfe. frieder
03.06.2020, 19:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: inf-sup Bedingung Bei der letzten Gleichheit hängt es stark davon ab, was $\begin{eqnarray} \\| \cdot \\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \| \cdot \| \end{eqnarray}$ ist. Wenn $\begin{eqnarray} \| \cdot \| = \\| \cdot \\| \end{eqnarray}$ , dann gilt es mit der Wahl von optimalen Wahl $\begin{eqnarray} v = \frac { Bq}{\|Bq\|} \end{eqnarray}$ (wenn $\begin{eqnarray} 0\neq Bq \end{eqnarray}$ ). Wenn $\begin{eqnarray} \| \cdot \| \neq \\| \cdot \\| \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} v = \frac { Bq}{\\|Bq\\|} \end{eqnarray}$ optimal sein und dann ist $\begin{eqnarray} max_{\\|v \\| = 1} v^T B q = \frac{\|Bq\|^2}{\\|Bq\\|} \end{eqnarray}$ .
03.06.2020, 20:00	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Ist beides die euklidische Norm. Dann verstehe ich folgendes nicht: Wenn B vollen Rang hat, dann ist $\begin{eqnarray} min_{q\neq 0} max_{v \neq 0} = min_{\\| q \\| = 1} \\| Bq\\| \neq 0 \end{eqnarray}$ kann man dann als inf-sup Konstante setzen: $\begin{eqnarray} \beta = \\| Bq \\| > 0 \end{eqnarray}$ ? Normalerweise wird das immer über den Rayleigh Quotient gezeigt. Aber den würde man dann doch gar nicht brauchen und es geht einfacher?
03.06.2020, 20:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst hier ja noch über $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ minimieren für die Bestimmung von $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ . Aber ja, wenn $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ invertierbar ist, so wäre $\begin{eqnarray} \beta >0 \end{eqnarray}$ . Was soll denn damit noch gezeigt werden?
03.06.2020, 20:22	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Danke für deine Antwort. Im Prinzip schaue ich mir das Sattelpunktsproblem an: $\begin{eqnarray} \left( \begin{array} A & B \\ -B^T & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{nxn} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \in \mathbb{R}^{nxp} \end{eqnarray}$ Dann soll man zeigen: fall $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ vollen Spaltenrang hat, dann gilt die inf-sup Bedingung: $\begin{eqnarray} min_{q} max_{v} \frac{v^T B q}{\\| v \\| \\| q \\|} \geq \beta > 0 \end{eqnarray}$ Den Beweis, den ich gesehen habe, verwendet eben den Rayleigh Quotienten um zu zeigen, dass ein $\begin{eqnarray} \beta > 0 \end{eqnarray}$ existiert. Und ich scheine ohne das auszukommen, deswegen denke ich, dass noch irgendwo ein Denkfehler sein müsste. Ansonsten wäre der Beweis ja viel einfacher. LG
03.06.2020, 20:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn dein Beweis falsch ist, so sehe ich es nicht. Ich könnte mir vorstellen, dass man bei dir den Beweis mit dem Rayleigh Quotient arbeitet, da man später einen allgemeineren Beweis damit führen kann, wo es direkt nicht mehr so einfach geht.
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03.06.2020, 20:43	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke. Vielleicht ist der Knackpunkt auch, dass $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ nicht quadratisch, sondern rechteckig ist (also zwar voller Spaltenrang, aber nicht invertierbar)? Ist dann $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ echt größer Null?
03.06.2020, 20:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hatte ich auch überlegt. Die Frage ist, ob es $\begin{eqnarray} Bq = 0 \end{eqnarray}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray} q=0 \end{eqnarray}$ . Wenn ja, so gilt dein Beweis. Ansonsten wäre $\begin{eqnarray} \beta = 0 \end{eqnarray}$ .
03.06.2020, 21:17	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Matrix $\begin{eqnarray} B \in \mathbb{R}^{nxp} \end{eqnarray}$ ist ja eine Abbildung von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^p \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ . Es ist auch gegeben, dass $\begin{eqnarray} n \geq p \end{eqnarray}$ ist. Nach der Dimensionsformel gilt ja p = dim(ker(B)) + dim(im(B)) und da rank(B) = p (voller Spaltenrang) gilt dim(ker(B)) = 0. Dann ist für jedes $\begin{eqnarray} q \neq 0 : Bq \neq 0 \end{eqnarray}$ Trotzdem ist mir nicht klar, warum dann in allen Büchern mit dem Rayleigh Quotienten argumentiert wird :-/ So ist es doch einfacher....
03.06.2020, 21:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Schöner Beweis. Ich kenne den anderen Beweis leider nicht und ich habe auch keine lineare Algebra/Numerik-Bücher hier rumliegen.
03.06.2020, 21:54	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Vielleicht wird der Rayleigh Quotient dafür verwendet, um $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Ansonsten habe ich eigentlich nur gezeigt, dass $\begin{eqnarray} min_{q} max_{v} \frac{v^T Bq}{\\| v \\| \\| q \\|} > 0 \end{eqnarray}$ ist. Oder?
03.06.2020, 22:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast es vereinfacht zu $\begin{eqnarray} \min_{\\|q\\| = 1} \\|Bq\\| \end{eqnarray}$ vereinfacht. Ab hier würde ich mich schwer tun etwas expliziteres zu zeigen.

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