Ereignisse im Wahrscheinlichkeitsraum

03.06.2020, 17:46

mcR2

Ereignisse im Wahrscheinlichkeitsraum

Meine Frage:
EIne heutige Klausuraufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Für die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_k \in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ gelte $\begin{eqnarray*} P(A_k)=1 \forall k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie:

$\begin{eqnarray*} P(\bigcap_{k=1}^{\infty } A_k)=1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe zunächst einmal $\begin{eqnarray*} P\left(\left(\bigcap_{k=1}^{\infty } A_k\right)^c \right) \end{eqnarray*}$ berechnet. Mit De Morgan gilt:

$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty } A_{k}^{c} \right) \end{eqnarray*}$

und weiter folgt mit der sub-add:

$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty } A_{k}^{c} \right) \leq \sum\limits_{k=1}^{\infty } P(A_{k}^{c} ) =\sum\limits_{k=1}^{\infty } (1-P(A_k))=0 \end{eqnarray*}$ .

Also gilt Insgesamt:

$\begin{eqnarray*} P\left(\left(\bigcap_{k=1}^{\infty } A_k\right)^c \right)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1- P\left(\bigcap_{k=1}^{\infty } A_k \right)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=P\left(\bigcap_{k=1}^{\infty } A_k \right) \end{eqnarray*}$ .

Wobei $\begin{eqnarray*} P(A^c)=1-P(A) \end{eqnarray*}$ wegen:

$\begin{eqnarray*} P(A^c)=P(\Omega/A)=P(\Omega)-P(A)=1-P(A) \end{eqnarray*}$ gilt.

Stimmt das ? Bitte sagt ja unglücklich

03.06.2020, 18:59

Mcr2

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RE: Ereignisse im Wahrscheinlichkeitsraum
Hat keiner eine Idee?

03.06.2020, 19:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von mcR2
Bitte sagt ja

In diesem speziellen Fall kann ich diese Bitte erfüllen - der Beweis ist vollständig in Ordnung. Freude

03.06.2020, 19:17

Mcr2

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Oh super das freut mich Tanzen

03.06.2020, 19:41

HAL 9000

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Für überabzählbare Durchschnitte gilt die Behauptung übrigens nicht: Dazu kann man beispielsweise $\begin{eqnarray*} \Omega=[0,1] \end{eqnarray*}$ mit Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ betrachten sowie die Mengen $\begin{eqnarray*} A_x = [0,1]\setminus \{x\} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} P\left( \bigcap_{x\in [0,1]} A_x \right) = P\left(\emptyset\right) = 0 \end{eqnarray*}$ trotz $\begin{eqnarray*} P\left(A_x\right)=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

03.06.2020, 20:17

mcR2

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oh ja stimmt Freude

Danke für den Hinweis

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