Klausuraufgabe MIT

03.06.2020, 19:27	mcRR2	Auf diesen Beitrag antworten »
Klausuraufgabe MIT Meine Frage: Hallo alle zusammen. Eine weitere Klausuraufgabe war: Die Funktion $\begin{eqnarray} \mu: P(N) \to \left[0,+\infty \right] \end{eqnarray}$ sei definiert durch $\begin{eqnarray} \mu(A)=\sum\limits_{k\in A/\left\{ 2020\right\} }^{} \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ a) Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \mu( \left\{ 3,6,2020\right\} ) \end{eqnarray}$ b) Geben Sie sämtliche Nullmengen an c) Zeigen Sie, dass (N,P(N), mu) ein Maßraum istt. d) Untersuchen (N,P(N),mu) auf Vollständigkeit, Endlichkeit und sigma-Endlichkeit. Meine Ideen: Zu a) $\begin{eqnarray} \mu( \left\{ 3,6,2020\right\} ) =\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=0,5 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \mu( \left\{ \right\} ) =0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu( \left\{ 2020\right\} ) =0 \end{eqnarray}$ c) Hier konnte ich nur die eine Bedingung leider zeigen: $\begin{eqnarray} \mu( \left\{ \right\} ) =0 \end{eqnarray}$ , da über kein k summiert wird. d) Vollständig?: JA, da wir als sigma-Algebra die Potenzmenge haben. Endlich? NEIN, da die Reihe divergiert. Stimmt alles was ich gemacht habe ?
03.06.2020, 19:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Symbolik-Frage Soll $\begin{eqnarray} A/\{2020\} \end{eqnarray}$ eigentlich die Mengendifferenz $\begin{eqnarray} A\setminus \{2020\} \end{eqnarray}$ bedeuten? EDIT: Ok, aus deinen Antworten rekonstruiere ich mal, dass das so gemeint ist. Ja, deine Antworten sind bis jetzt richtig. Fehlt im wesentlichen noch die Beantwortung der Frage nach der Sigma-Endlichkeit.
03.06.2020, 20:16	mcR2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symbolik-Frage Ups, ja ich meinte die Mengendifferenz. Ich habe leider nur soviel zu der Aufgabe geschafft.
03.06.2020, 20:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Sigma-Endlichkeit muss man nur eine monoton wachsende Mengenfolge $\begin{eqnarray} E_n \end{eqnarray}$ finden mit $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} E_n = \bigcup_{n\geq 1} E_n = \mathbb{N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu(E_n)<\infty \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Das ist kein Problem, man wählt dazu z.B. einfach $\begin{eqnarray} E_n = \mathbb{N}\cap [0,n] \end{eqnarray}$ .
03.06.2020, 20:50	Mcr2	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man.. Ich bin leider nicht drauf gekommen.. könntest du dir nochmal Tannerys Theorem anschauen?

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