Periodische Punkte berechnen

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fhannes Auf diesen Beitrag antworten »
Periodische Punkte berechnen
Hallo :-)

Ich bin gerade etwas am verzweifeln. Ich lese relativ viel dazu doch weiß ich nicht, wie ich die periodischen Punkte genau berechne.

Der Punkt x ist ein periodischer Punkt einer Periode n, wenn f^n (x)=x.

Doch was sagt das genau aus? und wie berechne ich den Punkt, wenn ich ihn in den Taschenrechner eingebe? Beispielsweise von den Funktionen

f(x)= -1/2x

f(x) = x-x^2

und

f(x) = Pi/2 sind x

Ich hoffe, mir kann dabei geholfen werden :-)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn eine Definition gegeben ist heißt das noch lange nicht, dass man für beliebige Funktionen und natürliche Zahlen n die periodischen Punkte berechnen kann. Es ist ja im allgemeinen nicht klar, ob es solche Punkte überhaupt gibt. Nur in speziellen Fällen kann man Algorithmen zur Berechnung erwarten und manchmal sogar entwickeln. Nicht jede Theorie ist konstruktiv, aber fast jede Theorie ist interessant.
Für die Beispiele muss man nur die entsprechenden Gleichungen aufstellen und ggf. lösen. Das kann unter Umständen ziemlich lange dauern, weil es unendlich viele natürliche Zahlen gibt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir die erste Funktion



In Worten macht das Folgende: "nimm die Eingabe mit minus 1/2 mal". Die mehrmalige Multiplikation mit minus 1/2 führt auf Potenzen, so daß



gilt. Die Gleichung lautet daher:



Diese Gleichung ist offenbar nur für erfüllbar, und zwar für jedes ganzzahlige . Das minimale dafür ist . Der einzige periodische Punkt ist daher . Seine (minimale) Periode ist 1.

Und während ich das schreibe, habe ich den Verdacht, daß da wieder einmal ein Katastrophenklammerfehler passiert ist und es in Wahrheit



heißen muß. Das wäre jedenfalls ein wenig interessanter. Ist es so, dann rechnest du am besten mal aus.
fhannes Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke Elvis und danke Leopold.

@Leopold

So wie die Gleichung lautete, war es schon richtig, .

Dann beziehe ich mich mal auf die andere Gleichung.

Wenn ich f(x) = x-x^2 habe, dann wäre es ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fhannes
f(x) = Pi/2 sind x

Erstaunt1
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Periode heißt für mich, daß sich etwas wiederholt. Damit das einen Sinn gibt, bin ich wie selbstverständlich davon ausgegangen, daß die hochgestellte Zahl bei sich auf die Anzahl der Verkettungsglieder bezieht, also



Vielleicht sollten wir erst einmal klären, was mit gemeint ist, bevor wir hier weitermachen. (Stimmt meine Interpretation, dann wäre übrigens deine Antwort von eben ziemlich daneben.) Schau in deinen Unterlagen nach und teile uns das mit.
 
 
fhannes Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von fhannes
f(x) = Pi/2 sind x

Erstaunt1


Ich denke diese Variante ist eindeutiger (sorry für den Tippfehler) -


Zitat:
Original von Leopold
Vielleicht sollten wir erst einmal klären, was mit fn gemeint ist, bevor wir hier weitermachen. (Stimmt meine Interpretation, dann wäre übrigens deine Antwort von eben ziemlich daneben.) Schau in deinen Unterlagen nach und teile uns das mit.


Leider wurde ich bzgl Mathe ins kalte Wasser geworfen, weshalb ich durch eine PO Änderung an den Grundlagen Mathematik scheinen vorbeigerutscht bin (leider).

Soweit ich gelesen und verstanden habe, heißt das, .

mhmm.... das würde dann eher heißen, in Bezug auf die vorherige Gleichung:

?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fhannes
?


Jetzt bist du auf der richtigen Spur.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so wird das alles sinnvoll und interessant. Jetzt kannst du anfangen, nach Lösungen zu suchen. Was da steht setzt du gleich x und löst die Gleichung 4. Grades. Und so weiter...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Was da steht setzt du gleich x und löst die Gleichung 4. Grades.

Ich würde bei die Argumentation besser darauf bauen, dass für alle reellen gilt, mit Gleichheit nur für : Daraus folgt nämlich induktiv für alle und alle .
fhannes Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch kommt man mit ähnlichen Techniken bei, man muss nur etwas weiter ausholen:

a) Der Wertebereich dieser Funktion ist , entsprechend können auch die periodischen Punkte nur aus diesem Intervall kommen.

b) Man überpüft rasch, dass und Fixpunkte ( = Punkte der Periode 1 ) dieser Funktion sind. Im folgenden müssen wir daher nur noch betrachten.



c) Für ist und damit induktiv .

d) Für ist und damit induktiv .
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