Zahlentheorie, Beweis von Vielfaches

04.06.2020, 01:43

Bonbon2007

Zahlentheorie, Beweis von Vielfaches

Hallo Zusammen,
Ich weiß hier nicht weiter, hat jemand bitte einen Rat?
Beweis, dass die Zahl n^2 + n + 9 für keine natürliche Zahl n ein Vielfaches von 49 ist?
Danke in voraus,
Bonbon

04.06.2020, 07:27

HAL 9000

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Durch Überprüfung aller Fälle modulo 7 kann man zunächst feststellen, dass $\begin{eqnarray*} n^2+n+9\equiv 0\bmod 7 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} n\equiv 3\bmod 7 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Mit $\begin{eqnarray*} n=7k+3 \end{eqnarray*}$ folgt dann $\begin{eqnarray*} n^2+n+9 = 49k^2+49k+21 \end{eqnarray*}$ , was offenkundig zwar durch 7, aber eben nicht durch 49 teilbar ist.

P.S.: Alternativ zur Überprüfung aller Fälle kann man allerdings auch sowas wie $\begin{eqnarray*} n^2+n+9\equiv n^2-6n+9 = (n-3)^2\bmod 7 \end{eqnarray*}$ nutzen. Augenzwinkern

04.06.2020, 11:39

Bonbon2007

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Zitat:

Original von HAL 9000
Durch Überprüfung aller Fälle modulo 7 kann man zunächst feststellen, dass $\begin{eqnarray*} n^2+n+9\equiv 0\bmod 7 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} n\equiv 3\bmod 7 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Mit $\begin{eqnarray*} n=7k+3 \end{eqnarray*}$ folgt dann $\begin{eqnarray*} n^2+n+9 = 49k^2+49k+21 \end{eqnarray*}$ , was offenkundig zwar durch 7, aber eben nicht durch 49 teilbar ist.

P.S.: Alternativ zur Überprüfung aller Fälle kann man allerdings auch sowas wie $\begin{eqnarray*} n^2+n+9\equiv n^2-6n+9 = (n-3)^2\bmod 7 \end{eqnarray*}$ nutzen. Augenzwinkern

Oh ja natürlich modulo, ist schon etwas lange her :-), vielen Dank HAL9000

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