Linearität von Abbildungen von Abb(R,R) nach Abb(R,R)

04.06.2020, 22:30

bot037

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Linearität von Abbildungen von Abb(R,R) nach Abb(R,R)

Meine Frage:
Habe zwei Aufgaben bei dennen ich mir nicht ganz sicher bin:
1. $\begin{eqnarray*} \psi: Abb(\mathbb R ,\mathbb R ) \to Abb(\mathbb R ,\mathbb R ),\psi(f): x \mapsto f(x+1) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \psi: Abb(\mathbb R ,\mathbb R ) \to Abb(\mathbb R ,\mathbb R ),\psi(f): x \mapsto f(x^2) \end{eqnarray*}$

Die soll ich jetzt auf Linearität prüfen.

Meine Ideen:
Bin mir mit dem Begriff der Linearität nicht so sicher ich meine das beide keine Linearen Abbildungen sind.
Zur 1:
Sei a = 0 und f = id dann:
$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \psi (id) = 0 \cdot (id+1) = 0 \neq 1 = 0 \cdot id +1 = \psi(0 \cdot id) \end{eqnarray*}$
Zur 2:
Sei a = -1 und f(x)= 2 dann:
$\begin{eqnarray*} -1 \cdot \psi (f) = -1 \cdot 2^2 = -4 \neq 4 = (-1 \cdot 2)^2 = \psi(-1 \cdot f) \end{eqnarray*}$
Ist das so richtig?

04.06.2020, 22:52

Finn_

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Na so geht das aber nicht. Es gilt

$\begin{eqnarray*} \psi(0\cdot\operatorname{id}) = \psi(0) = \psi(t\mapsto 0)= (x\mapsto (t\mapsto 0)(x+1)) = (x\mapsto 0) = 0. \end{eqnarray*}$

Rechne mal allgemein für $\begin{eqnarray*} \psi(f):=f\circ g \end{eqnarray*}$ .

05.06.2020, 00:29

bot037

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Das verstehe ich jetzt nicht so ganz. Also nochmal: ich muss ja zeigen oder wiederlegen, dass für 𝜓 gilt:
1. $\begin{eqnarray*} \psi (f) + \psi(g) = \psi (f+g) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \lambda \psi (f) = \psi (\lambda f) \end{eqnarray*}$

Wie genau kommt man jetzt auf die Komposition $\begin{eqnarray*} \psi(f) := f \circ g \end{eqnarray*}$ ?

05.06.2020, 00:34

Finn_

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Bei 1. ist $\begin{eqnarray*} g(x):=x+1 \end{eqnarray*}$ und bei 2. ist $\begin{eqnarray*} g(x):=x^2 \end{eqnarray*}$ . Die genau Form von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ spielt allerdings keine Rolle.

05.06.2020, 00:42

bot037

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Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich das richtig verstehe aber ich versuchs mal. Also für 1. wäre das dann:
$\begin{eqnarray*} \psi(f) + \psi (g) = (f \circ (x+1)) + (g \circ (x+1)) = (f+g) \circ (x+1) = \psi(f+g) \end{eqnarray*}$
So richtig um die erste Bedingug zu beweisen?

05.06.2020, 00:49

Finn_

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Prinzipiell ja, allerdings ist das zu ungenau aufgeschrieben. Bei Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g\colon X\to Y \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} f=g \iff \forall x\in X\colon f(x)=g(x). \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist also
$\begin{eqnarray*} \forall x\colon \psi(f_1+f_2)(x) = (\psi(f_1)+\psi(f_2))(x) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \forall x\colon \psi(\lambda f)(x) = (\lambda\psi(f))(x). \end{eqnarray*}$

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05.06.2020, 00:52

bot037

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Okay gut denke jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank für die schnellen und hilfreichen Antworten. smile

smile

05.06.2020, 08:36

dsyleixa

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aus Interesse, ich verstehe die Fragestellung noch nicht recht:
oben sprichst du nur von psi und 2 Funktionen f, weiter unten kommt eine Funktion g (?) dazu, aber für was soll jetzt Linearität nachgewiesen werden, d.h. doch
zz: f(a*x) = a*f(x) für alle a,x
wenn ich mich recht erinnere.... ?

05.06.2020, 10:31

Leopold

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Für $\begin{align*} g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{align*}$ ist eine spezielle, fest gedachte Funktion zu nehmen. In

$\begin{align*} \psi(f) = f \circ g \end{align*}$

dagegen ist $\begin{align*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{align*}$ eine variable Funktion. Man überlegt sich, daß $\begin{align*} \left( f_1 + f_2 \right) \circ g = f_1 \circ g + f_2 \circ g \end{align*}$ gilt, und das ist ja nichts anderes als $\begin{align*} \psi \left( f_1 + f_2 \right) = \psi \left( f_1 \right) + \psi \left( f_2 \right) \end{align*}$ . In dieser Gleichung darf man sogar die Addition durch die Subtraktion, Multiplikation oder Division (mit den üblichen Vorsichtsmaßnahmen bei Division durch 0) ersetzen. Es bleibt immer richtig.
Finn_ hat sozusagen das Problem auf eine allgemeinere Ebene gehoben, während in der Aufgabe nur zwei spezielle $\begin{align*} g \end{align*}$ , nämlich $\begin{align*} g(x) = x+1 \end{align*}$ und $\begin{align*} g(x) = x^2 \end{align*}$ vorgegeben waren.

05.06.2020, 10:39

dsyleixa

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hmmmm, verstehe ich jetzt nicht wirklich... zu abstrakt....

und wieso jetzt plötzlich g(x) oben waren doch 2 f(x)?
und dann wieder ein anderes g hinter dem f Kringel???
kann man die nicht verschieden bezeichnen? Weil es doch 2 verschiedene Funktionen sind?
Und was hat das Psi damit zu tun?
Und was ist dann genau zu zeigen?

05.06.2020, 11:18

Leopold

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Das geht ein bißchen durcheinander, weil Finn_ für die spezielle Funktion den Bezeichner $\begin{align*} g \end{align*}$ genommen hat, während bei bot037 $\begin{align*} g \end{align*}$ für eine variable Funktion steht.

Ich lege mal die Bezeichner neu fest. Wählen wir für die spezielle Funktion einen ausgefallenen Buchstaben, warum nicht $\begin{align*} \kappa_0: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{align*}$ . Und die angehängte 0 soll noch unterstreichen, daß $\begin{align*} \kappa_0 \end{align*}$ im Folgenden nicht geändert wird. Jetzt definieren wir eine Abbildung $\begin{align*} \psi \end{align*}$ , die einer Funktion $\begin{align*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{align*}$ eine Funktion $\begin{align*} \psi(f) \end{align*}$ vom selben Typ, also $\begin{align*} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{align*}$ , zuordnet, und zwar durch die Vorschrift:

$\begin{align*} \psi(f) = f \circ \kappa_0 \end{align*}$

Als Beispiel nehme ich einmal $\begin{align*} \kappa_0(x) = x^2 \end{align*}$ .

Die Wirkung auf $\begin{align*} f \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(x) = \frac{1}{1 + |x|} \end{align*}$ wäre:

$\begin{align*} \left( \psi(f) \right)(x) = \left( f \circ \kappa_0 \right)(x) = f \left( \kappa_0(x) \right) = f \left( x^2 \right) = \frac{1}{1 + x^2} \end{align*}$

Die Wirkung auf $\begin{align*} g \end{align*}$ mit $\begin{align*} g(x) = x - x^2 \end{align*}$ wäre:

$\begin{align*} \left( \psi(g) \right)(x) = \left( g \circ \kappa_0 \right)(x) = g \left( \kappa_0(x) \right) = g \left( x^2 \right) = x^2 - x^4 \end{align*}$

Definieren wir daher $\begin{align*} \hat{f} \end{align*}$ durch $\begin{align*} \hat{f}(x) = \frac{1}{1 + x^2} \end{align*}$ und $\begin{align*} \hat{g} \end{align*}$ durch $\begin{align*} \hat{g}(x) = x^2 - x^4 \end{align*}$ , so wäre

$\begin{align*} \psi(f) = \hat{f} , \ \psi(g) = \hat{g} \end{align*}$

Das nur zur Demonstration, wie die Abbildung $\begin{align*} \psi \end{align*}$ wirkt.

05.06.2020, 11:43

dsyleixa

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vielen Dank, aber ich verstehe kein Wort - ich gebe auf.... traurig

traurig

05.06.2020, 15:47

Leopold

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Zitat:

Original von dsyleixa
ich verstehe kein Wort - ich gebe auf.... traurig

traurig

Das wundert mich jetzt, da du hier doch schon schlimmere Dinge bewältigt hast. Letzten Endes geht es nur darum, daß das Substituieren von $\begin{align*} x \end{align*}$ durch $\begin{align*} \kappa_0(x) \end{align*}$ , also

$\begin{align*} \psi(f) = f \circ \kappa_0 \end{align*}$

im Vektorraum der Funktionen ein linearer Prozeß ist. Anderswo gehst du mit so etwas doch wie selbstverständlich um, etwa beim Differenzieren:

$\begin{align*} \psi(f) = f' \end{align*}$

oder beim Integrieren:

$\begin{align*} \psi(f) = F \ \ \text{mit} \ \ F(x) = \int_0^x f(t) ~ \dd t \end{align*}$

jeweils in geeigneten Untervektorräumen.

05.06.2020, 15:53

IfindU

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@dsylexia

Ggf. ist das Problem, dass du an $\begin{eqnarray*} f(\alpha x) = \alpha f(x) \end{eqnarray*}$ denkst und versuchst das auf $\begin{eqnarray*} \psi(f(x)) \end{eqnarray*}$ zu übertragen.

Bei $\begin{eqnarray*} f(\alpha x) = \alpha f(x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Abbildung und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Vektor im Vektorraum. Bei der Aufgabe hier ist $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ die Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ der Vektor im Vektorraum.

Dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in beiden Fällen eine Funktion ist, spielt erst einmal keine Rolle. $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ bildet ein Element in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ab mit der Vorschrift $\begin{eqnarray*} \psi(v) = ... \end{eqnarray*}$ . Das erfüllt $\begin{eqnarray*} \psi( \alpha v) = \alpha \psi(v) \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein besonderer Vektor, nämlich eine Funktion. Wichtig hier ist aber, dass dieser Vektor (die Funktion) nicht selbst linear sein muss. Fokus hier ist $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ und wie es mit seinem Input $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ umgeht.

05.06.2020, 16:01

dsyleixa

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vielleicht bräuchte ich als erstes mal vernünftige Buchstaben, aber ich verstehe hier immer noch nur Bahnhof und Tohuwabohu.. weder der Kringel noch das Integral noch das ...' noch das alpha, kappa, psi oder ny machen das irgendwie anschaulich verständlich, leider. Auch kann ich mt einer Funktion von einer Funktion nichts anfangen.
Aber danke für eure Mühe! smile

smile

05.06.2020, 16:24

Finn_

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Auf eine allgemeinere Ebene gehoben ist vielleicht etwas überhöht, da geht noch mehr.

Weil Homogenität und Additivität nach dem gleichen Muster gezeigt werden, muss man sich fragen ob sich dieses Muster da herausschälen lässt. Dazu sei für eine n-stellige Operation $\begin{eqnarray*} p\colon\mathbb R^n\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ die punktweise Anwendung definiert als

$\begin{eqnarray*} \eta_p\colon\operatorname{Abb}(X,\mathbb R)^n\to\operatorname{Abb}(X,\mathbb R),\quad \eta_p(f)(x) := p(f_1(x),\ldots,f_n(x)), \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} f:=(f_1,\ldots,f_n) \end{eqnarray*}$ ein Tupel von Funktionen ist.

Die Addition ist dann $\begin{eqnarray*} \eta_p \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} p(t_1,t_2):=t_1+t_2 \end{eqnarray*}$ und die Skalarmultiplikation mit dem Skalar $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \eta_p \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} p(t):=\lambda t \end{eqnarray*}$ .

Für eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi\colon\operatorname{Abb}(X,\mathbb R)\to\operatorname{Abb}(X',\mathbb R) \end{eqnarray*}$ sei außerdem
$\begin{eqnarray*} F(\varphi)(f) := (\varphi(f_1),\ldots,\varphi(f_n)). \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \psi(f):=f\circ g \end{eqnarray*}$ bezüglich einer festen aber beliebigen Abbildung $\begin{eqnarray*} g\colon X'\to X \end{eqnarray*}$ ist nun zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \psi(\eta_p(f)) = \eta_p(F(\psi)(f)), \end{eqnarray*}$
das ist gleichbedeutend mit
$\begin{eqnarray*} \psi\circ\eta_p = \eta_p\circ F(\psi). \end{eqnarray*}$

Wir rechnen nach:
$\begin{eqnarray*} \psi(\eta_p(f))(x) = (\eta_p(f)\circ g)(x) = \eta_p(f)(g(x)) = p(f_1(g(x)),\ldots,f_n(g(x))) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = p((f_1\circ g)(x),\ldots,(f_n\circ g)(x)) = p(\psi(f_1)(x),\ldots,\psi(f_n)(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \eta_p(\psi(f_1),\ldots,\psi(f_n))(x) = \eta_p(F(\psi)(f))(x). \end{eqnarray*}$

D.h. dieses Diagramm kommutiert:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} \operatorname{Abb}(X,\mathbb R)^n & {F(\psi)\atop\longrightarrow} & \operatorname{Abb}(X',\mathbb R)^n\\ \downarrow \eta_p & & \downarrow \eta_p\\ \operatorname{Abb}(X,\mathbb R) & {\psi\atop\longrightarrow} & \operatorname{Abb}(X',\mathbb R) \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Die Menge der $\begin{eqnarray*} \varphi\colon\operatorname{Abb}(X,\mathbb R)\to\operatorname{Abb}(X',\mathbb R) \end{eqnarray*}$ , für die es ein $\begin{eqnarray*} g\colon X'\to X \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \varphi(f)=f\circ g \end{eqnarray*}$ , bildet die Morphismenklasse einer Kategorie, nennen wir sie Kompositionsoperatorenkategorie, kurz Komp. Nämlich ist mit den Morphismen $\begin{eqnarray*} \varphi_1,\varphi_2 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} \operatorname{cod}(\varphi_1)=\operatorname{dom}(\varphi_2) \end{eqnarray*}$ auch die Verkettung $\begin{eqnarray*} \varphi_2\circ\varphi_1 \end{eqnarray*}$ in der Morphismenklasse enthalten, denn
$\begin{eqnarray*} (\varphi_2\circ\varphi_1)(f) = (f\circ g_1)\circ g_2 = f\circ g_1\circ g_2 = f\circ (g_1\circ g_2) = f\circ g = \varphi(f). \end{eqnarray*}$
D.h. es gibt dieses $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , setze $\begin{eqnarray*} g:=g_1\circ g_2 \end{eqnarray*}$ .

Bei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ handelt es sich um einen kovarianten Funktor, denn für beliebige $\begin{eqnarray*} \varphi,\psi \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} F(\psi\circ\varphi)(f) = (\psi(\varphi(f_1)),\ldots,\psi(\varphi(f_n))) = F(\psi)(F(\varphi)(f)) = (F(\psi)\circ F(\varphi))(f), \end{eqnarray*}$
kurz
$\begin{eqnarray*} F(\psi\circ\varphi) = F(\psi)\circ F(\varphi). \end{eqnarray*}$

Und
$\begin{eqnarray*} F(\operatorname{id})(f) = (\operatorname{id}(f_1),\ldots,\operatorname{id}(f_n)) = (f_1,\ldots,f_n) = f = \operatorname{id}(f), \end{eqnarray*}$
kurz
$\begin{eqnarray*} F(\operatorname{id}) = \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ .

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \eta_p \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine natürliche Transformation, wie schon gezeigt wurde.

05.06.2020, 16:33

dsyleixa

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Rock

05.06.2020, 17:18

Leopold

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Ja, so ist unser Finn_. Da bleiben keine Fragen offen. Prost

Prost

Zurück zum Thema. Du weißt, was Ableiten bedeutet. Man hat eine Funktion, leitet diese ab, und erhält wieder eine Funktion. Das Ableiten ist also ein Prozeß, der aus einer Funktion eine neue Funktion generiert. Und jetzt sagen wir statt "Prozeß" einfach "Abbildung". Dann ist das Ableiten eine Abbildung, die auf eine Funktion entgegennimmt und auf eine gewisse Art und Weise mit einer andern Funktion antwortet. Nehmen wir für diese Abbildung, das "Differenzieren", den Buchstaben $\begin{align*} \delta \end{align*}$ (das ist so etwas wie das $\begin{align*} \psi \end{align*}$ in der vorliegenden Aufgabe). Dann gilt zum Beispiel:

$\begin{align*} \delta (\sin) = \cos \end{align*}$ ("leite den Sinus ab, du erhältst den Cosinus")

$\begin{align*} \delta (\cos) = - \sin \end{align*}$

$\begin{align*} \delta (\exp) = \exp \end{align*}$

Das waren jetzt Funktionen, die einen ein für alle Mal festgelegten Namen haben. Meist haben aber Funktionen nur einen vorübergehenden Namen, zum Beispiel im Moment $\begin{align*} f \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(x) = x^3 \end{align*}$ und $\begin{align*} g \end{align*}$ mit $\begin{align*} g(x) = 3x^2 \end{align*}$ . Für diese beiden Funktionen gilt dann ebenfalls

$\begin{align*} \delta(f) = g \end{align*}$ ("leite f ab, du erhältst g")

Letzlich ist $\begin{align*} \delta(f) \end{align*}$ hier nur eine andere Schreibweise für $\begin{align*} f' \end{align*}$ . Man legt eben Wert auf den funktionalen Charakter des Ableitens. Dann wählt man gelegentlich eine solche Schreibweise. Für das Differenzieren gilt die Summenregel: $\begin{align*} \left( f + g \right)' = f' + g' \end{align*}$ und die Faktorregel $\begin{align*} \left( \lambda f \right)' = \lambda \cdot f' \end{align*}$ , wenn $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ eine reelle Zahl ist. Mit $\begin{align*} \delta \end{align*}$ schreiben sich die beiden Regeln so:

$\begin{align*} \delta(f+g) = \delta(f) + \delta(g) \, , \ \ \delta \left( \lambda f \right) = \lambda \cdot \delta(f) \end{align*}$

Alles ist altbekannt, es kommt nur in einem andern Gewand daher. Die Objekte, mit denen man hier operiert, sind die Funktionen $\begin{align*} f, g, \ldots \end{align*}$ , wie mit ihnen operiert wird, legt $\begin{align*} \delta \end{align*}$ fest, hier: ableiten.

Was dir, worauf schon IfindU hinwies, vermutlich Schwierigkeiten bereitet, ist es, zu akzeptieren, daß hier die Objekte, mit denen hantiert wird, Funktionen sind und nicht etwa Zahlen. Wir sind also auf einer höheren Abstraktionsebene.

Die Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(x) = x^2 \end{align*}$ hantiert mit reellen Zahlen $\begin{align*} x \end{align*}$ , die Abbildung $\begin{align*} \delta(f) = f' \end{align*}$ hantiert mit Funktionen $\begin{align*} f \end{align*}$ .

05.06.2020, 17:55

dsyleixa

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dankeschön! ja, nun ist es schon erheblich klarer!

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