Satz von der Umkehrabbildung

05.06.2020, 11:50

MasterWizz

Satz von der Umkehrabbildung

Hey Leute

Ich hab ein kleines Verständnisproblem mit dem Satz von der Umkehrabbildung, weil ich denke, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\ \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2,\quad f(x,y)=\begin{pmatrix}x^2-y^2\\2xy\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dem widerspricht.

Die Jacobimatrix der Funktion lautet $\begin{eqnarray*} f'(x,y)=\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und sie ist invertierbar für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq(0,0) \end{eqnarray*}$ . Nach dem Satz der Umkehrabbildung müsste es also für jeden dieser Punkte, in dem die Jacobimatrix invertierbar ist, eine Umgebung geben, die bijektiv von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ abgebildet wird.

Jedoch lässt sich zeigen, dass jeder Bildpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (außer $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ) genau 2 Urbilder besitzt, was ja bedeutet, dass die Funktion in all diesen Punkten nicht injektiv ist und damit auch nicht bijektiv sein kann. Es also keine Umkehrabbildung gibt. Das steht im Widerspruch zum Satz der Umkehrabbildung.

Könnt ihr mir erklären, wo mein Denkfehler liegt?

05.06.2020, 11:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von MasterWizz
Jedoch lässt sich zeigen, dass jeder Bildpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (außer $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ) genau 2 Urbilder besitzt, was ja bedeutet, dass die Funktion in all diesen Punkten nicht injektiv ist und damit auch nicht bijektiv sein kann. Es also keine Umkehrabbildung gibt. Das steht im Widerspruch zum Satz der Umkehrabbildung.

Das würde nur dann einen Widerspruch bedeuten, wenn diese zwei Urbilder beide in dieser (kleinen) Umgebung liegen - das hast du wohl übersehen.

05.06.2020, 12:11

MasterWizz

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Super vielen Dank! smile

05.06.2020, 12:12

IfindU

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Einfacher ist wenn du $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ betrachtest. Das hat die gleichen Eigenschaften, ist aber leichter zum vorstellen.

05.06.2020, 13:18

HAL 9000

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@IfindU

Eigentlich handelt es sich hier ja auch um die Quadratabbildung - nur eben im Komplexen: $\begin{eqnarray*} (x+yi)^2 = x^2-y^2 + 2xyi \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

05.06.2020, 14:18

IfindU

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@HAL

Die Terme kamen mir auch seltsam bekannt vor Big Laugh

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