Satz von Bayes

05.06.2020, 20:46	Ilyas	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Bayes Meine Frage: Guten Abend zusammen, ich benötige etwas Hilfe bei der Lösung einer Aufgabe. Die Aufgabenstellung lautet: Ein Mann wird in New York überfallen und ausgeraubt, der Täter sei ein Schwarzer gewesen. Als das Gericht den Vorfall unter ähnlichen Lichtverhältnissen mehrfach nachstellen lässt, kann das Opfer die Hautfarbe des Räuber-Darstellers nur in 80% der Fälle richtig angeben. Ein Geschworener sagt dazu "Damit ist klar, dass der Täter mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% ein Schwarzer war." Der Anteil der schwarzen Bevölkerung beträgt in New York 15,9%. Nach Aussage der Polizei unterscheiden sich die Prozentsätze der Täter im weißen Bevölkerungsteil und im schwarzen Bevölkerungsteil kaum. Ein Opfer verwechselt einen Weißen mit einem Schwarzen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit wie umgekehrt einen Schwarzen mit einem weißen. Hierbei soll ich die Aussage des Geschworenen bewertet, nur hänge ich bei der Zuordnung meiner Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten fest. Es gab bereits 2013 einen Doppelpost über das Thema, was mir jedoch nicht behilflich war. https://www.onlinemathe.de/forum/bedingte-Wahrscheinlichkeit-Satz-von-Bayes-5 https://www.matheboard.de/archive/522082/thread.html Meine Ideen: Also meine Idee war es erstmal die Ereignisse zu klassifizieren. Ereignis A: Schwarze Person P(A)=0,159 Ereignis A-: Nicht schwarze Person P(A-)=0,841 Ereignis E: Hautfarbe einer Person richtig zugeordnet $\begin{eqnarray} P_{A} \end{eqnarray}$ (E)=0,8 Ereignis E-: Hautfarbe einer Person nicht richtig zugeordnet $\begin{eqnarray} P_{A-} \end{eqnarray}$ (E-)=0,2 An der Stelle bin ich mir schon nicht sicher ob das so richtig ist. Pfadwahrscheinlichkeiten ermittelt um P(E) zu erhalten: P(A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ E)= 0,1590,8 = 0,1272 P(A- $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ E)= 0,8410,8 = 0,6728 P(A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ E-)= 0,1590,2 = 0,0318 P(A- $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ E-)= 0,8410,2 = 0,1682 P(E)= P(A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ E) + P(A- $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ E) = 0,1272+0,6728 = 0,8 P(E-)= P(A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ E-) + P(A- $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ E-) = 0,0318+0,1682 = 0,2 An dieser Stelle habe ich gemerkt, dass irgendwas nicht stimmt, da nun P(E)= $\begin{eqnarray} P_{A} \end{eqnarray}$ (E) und P(E-)= $\begin{eqnarray} P_{A-} \end{eqnarray}$ (E-) ist. Das kann ja nicht sein, da dann daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} P_{E-} \end{eqnarray}$ (A-)= P(A-) und $\begin{eqnarray} P_{E} \end{eqnarray}$ (A)=P(A) ist was wiederum keinen Sinn ergibt. Ich finde auch nicht raus, was ich falsch gemacht habe und vermute, dass mein Fehler bei der Daten auslese aus dem Text liegt. Ich würde mich über jede Anregung und Hilfestellung freuen. Vielen Dank. Liebe Grüße Ilyas
05.06.2020, 23:00	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Bayes Zur Klarstellung ist vorauszuschicken, dass man mit den Bevölkerungsanteilen hier nur rechnen darf, weil der relative Täteranteil in beiden Bevölkerungsanteilen als gleich anzunehmen ist. D. h. es ist insbesondere für das Ereignis $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ : Person ist Täter $\begin{eqnarray} P_{T}(A)=P(A) \end{eqnarray}$ Ich würde nun die Ereignisse etwas umformulieren: $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ : Täter ist schwarz $\begin{eqnarray} \overline{A} \end{eqnarray}$ : Täter ist nicht schwarz $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ : Täter wird die Hautfarbe schwarz zugeordnet Dann sind bekannt: $\begin{eqnarray} P(A), P(\overline{A}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P_{A}(S)=0,8 =P_{\overline{A}}(\overline{S}) \end{eqnarray}$ Die Behauptung des Geschworenen bezieht sich auf $\begin{eqnarray} P_{S}(A)=\frac{P(S\cap A)}{P(S)} =\frac{P(A\cap S)}{P(S)}=\frac{P(A)\cdot P_{A}(S) }{P(S)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} P(S)=P(A) \cdot P_{A}(S)+P(\overline{A}) \cdot P_{\overline{A}}(S) \end{eqnarray}$ Die Werte sind jetzt alle bekannt.
06.06.2020, 12:26	Ilyas	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Tag Klauss, erstmal vielen Dank für Ihre Bemühung und Hilfe. So wie ich das jetzt verstehe, habe ich die Wahrscheinlichkeiten für $\begin{eqnarray} P_{A^{-}}(S) \end{eqnarray}$ = 0,2 und $\begin{eqnarray} P_{A^{-}}(S^{-}) \end{eqnarray}$ = 0,8 falsch zugeordnet. Ich habe angenommen, dass "Als das Gericht den Vorfall unter ähnlichen Lichtverhältnissen mehrfach nachstellen lässt, kann das Opfer die Hautfarbe des Räuber-Darstellers nur in 80% der Fälle richtig angeben." sich auf jede Hautfarben Zuordnung bezieht und nicht nur für die richtige Zuordnung der schwarzen Hautfarbe gültig ist. Ich hätte nicht gedacht, dass die falsche Formulierung des Ereignis so einen großen Einfluss auf den Lösungsweg hat. Wenn ich den neuen Ansatz einmal runter rechne komme ich auf folgendes Ergebnis. $\begin{eqnarray} P(A)= 0,159, P(A^{-}) = 0,841, P_{A}(S) = 0,8, P_{A^{-}}(S) = 0,2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(S)= 0,159 \cdot 0,8 + 0,841 \cdot 0,2 = 0,1272 + 0,1682 = 0,2954 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_{S}(A) = \frac{0,1272}{0,2954} = 0,4306 \end{eqnarray}$ Damit würde die Aussage des Geschworenen nicht Stimmen, da die Wahrscheinlichkeit, dass der Täter ein schwarzer war, bei 43,06% liegt oder? Eine allgemeine Frage noch. Können Sie mir sagen, wie Sie die Negation von Buchstaben hier im Forum unter Latex angeben haben? Liebe Grüße Ilyas
06.06.2020, 13:56	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Bayes Den Wert von 0,43 habe ich auch erhalten. Soweit ich es sehe, waren Deine Berechnungen an sich schon richtig, Du hattest aber dann abgebrochen und kein Endergebnis. Das hätte m. E. falsch sein können, weil die Bezeichnung für das Ereignis E "richtig zugeordnet" die Fragestellung nicht trifft. Mein Ereignis S beinhaltet sowohl die richtige Zuordnung, wenn A wahr ist, als auch die falsche Zuordnung, wenn nicht A wahr ist. Bezüglich Latex kannst Du in meinem obigen Beitrag mal den Button "zitat" drücken, dann erscheint im Antwortfeld der Quelltext.
06.06.2020, 14:53	Ilyas	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt, vielen Dank das hat mir sehr geholfen die Aufgabe zu verstehen. Damit wäre ich dann durch. Einen schönen Tag und ein schönes Wochenende noch.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »