Belegung im Planschbecken

06.06.2020, 04:48

Dopap

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Belegung im Planschbecken

Eine geometrische Strichaufgabe, von mir mit etwas Sachbezug versehen.

[attach]51417[/attach]

Die Hälfte eines kleinen quadratischer Refugiums ist für Eltern gedacht, in der anderen Hälfte können die Kleinen planschen.
Hier schwimmt gerade eine rechteckige Luftmatratze und eine kleine runde Badeinsel herum.
Nun gibt es diese Sachen in beliebigen stetigen Größen und spontan drängte sich mir die Frage auf:

Welchen Anteil der Wasserfläche können diese Teile zusammen maximal belegen?

Ist das zusätzlich ein Anordnungs-Problem verwirrt

verwirrt

06.06.2020, 15:15

Elvis

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Nach dreifacher Fallunterscheidung und vier DIN A5 Seiten Rechnung mit $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ habe ich erkannt, dass die drei Fälle dasselbe Ergebnis haben. Ich biete 38,810814564% der Quadratflaeche als maximale Fläche für Luftmatratze und Badeinsel.

Nachtrag: Irgendwo ist wie üblich der Wurm drin, Euklid DynaGeo "berechnet zeichnerisch" 34,22% Tränen

Tränen

und dafür quält man sich nun stundenlang herum böse

böse

Nachtrag: In einer binomischen Formel hatte ich tatsächlich einen Faktor 2 vergessen, und nun stimmt das Rechenergebnis 34,223417913% mit der Zeichnung überein. Tanzen

Tanzen

06.06.2020, 23:01

Dopap

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3 Fälle? könntest du das mal genauer ausführen.

Ich habe jetzt mal den Standardfall = Rechteck bündig in der Ecke mit dem rechten Winkel, und Punktberührung mit der Diagonale und einem Kreis mit 3 Tangenten ; bearbeitet.
Wenn x eine Rechteckseite und r der Kreisradius ist, dann erhalte ich mit Quadratseite a für die Fläche
$\begin{eqnarray*} A(r, x):=\pi r^2 + x(a-x) \end{eqnarray*}$ und für den Radius $\begin{eqnarray*} r(x)=\frac {a-x}{2+\sqrt 2} \end{eqnarray*}$ und reduzieren den Fall durch Einsetzen um eine Dimension:
$\begin{eqnarray*} A(x)=\frac {\pi (a-x)^2}{(2 +\sqrt 2)^2}+x(a-x) \end{eqnarray*}$ und über die Substitution $\begin{eqnarray*} b=\frac {\pi}{(2+\sqrt 2)^2}\qquad A(x)\quad \text{zu} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(x)=(b-1)x^2+(1-2ab)x +a^2b \end{eqnarray*}$

Brav ableiten und Null setzen liefert wegen $\begin{eqnarray*} b-1<0 \end{eqnarray*}$ den maximalen Wert des Anteils am Quadrat zu
$\begin{eqnarray*} \eta=\frac {408\sqrt 2 - 577}{\pi \left(6726-4756\sqrt 2\right)-2308+1632\sqrt 2}\approx 34.224\,125\,222\,6\% \end{eqnarray*}$

anscheinend fehlt es dir an Genauigkeit. Big Laugh

Big Laugh

( oder auch mir !)

bezüglich des Wassers das Doppelte also mehr als 2/3

06.06.2020, 23:50

Leopold

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Was ist denn das für ein scheußlicher Ausdruck! Und auch noch numerisch instabil. unglücklich

unglücklich

Da wäre ich doch eher für

$\begin{align*} \eta = \frac{1}{2 \left( 2 - \left( \sqrt{2} - 1 \right)^2 \pi \right)} \end{align*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.06.2020, 02:45

Dopap

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das kam mir auch spanisch vor.

Ich hab jetzt
1.) a=1 gesetzt
2.) das b nicht eingesetzt
und siehe da

$\begin{eqnarray*} \eta= \frac {-1}{4b -4} \end{eqnarray*}$

Trotzdem dürfte das im exakten Modus nicht passieren.
Jetzt muss ich mal die sichtbaren von den 128 system-flags, die den Rechner steuern durchsehen.

Unter Verdacht steht momentan FLAG 111 : "simplify non rational"
und das könnte in Zusammenspiel mit dem aktuellen Anzeigemodus die Ursache sein.

07.06.2020, 08:51

Elvis

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Zitat:

Original von Dopap
3 Fälle? könntest du das mal genauer ausführen.

Ja gerne, aber nicht als Musterlösung sondern direkt aus meinem Sudelbuch als Prozeß von Kunst und Kreativität über Fleiß und Ausdauer zum Ziel.

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07.06.2020, 12:42

rumar

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Zitat:

anscheinend fehlt es dir an Genauigkeit

Ja, bei Swiimming Pools und Luftmatratzen kommt es immer enorm auf die Tausendstel- und Millionstel-Prozente an !

07.06.2020, 14:16

Leopold

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@ rumar

Für Schwimmbecken im wirklichen Leben hast du ja recht. Aber da sind auch keine Luftmatratze und Badeinsel so groß, daß sie sich nicht mehr auf dem Wasser bewegen lassen. Hier sind wir aber in einem mathematischen Schwimmbecken und die Utensilien "in beliebigen stetigen Größen" lieferbar. Und da ist die tausendste Stelle nach dem Komma so wichtig wie die dritte.

@ Dopap

Über die große Abweichung bei der numerischen Berechnung der termalgebraisch identischen Werte bin ich auch erstaunt. Es mag zum Teil an der Division "klein durch klein" liegen:

$\begin{align*} \frac{408 \sqrt{2} - 577}{\pi \left( 6726 - 4756 \sqrt{2} \right) - 2308 + 1632 \sqrt{2}} = \frac{-0{,}00086655177722150256}{-0{,}0025320433514934848} = 0{,}34223417885416 \end{align*}$

sagt mein CAS LiveMath. Der im Windows-System integrierte Rechner sagt:

$\begin{align*} = \frac{-0{,}00086655177722008891100052244318394}{-0{,}00253204334942926343459488049557} = 0{,}34223417913260231937296978406947 \end{align*}$

Schon die Unterschiede in den Zählern und Nennern verblüffen mich.

Wem kann man heute noch trauen!

EDIT
Falsche Klammersetzung in der abgeschriebenen Formel korrigiert.

07.06.2020, 16:15

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} A(r, x):=\pi r^2 + x(a-x) \end{eqnarray*}$ und für den Radius $\begin{eqnarray*} r(x)=\frac {a-x}{2+\sqrt 2} \end{eqnarray*}$
....
Brav ableiten und Null setzen liefert wegen $\begin{eqnarray*} b-1<0 \end{eqnarray*}$ den maximalen Wert des Anteils am Quadrat zu
$\begin{eqnarray*} \eta=\frac {408\sqrt 2 - 577}{\pi \left(6726-4756\sqrt 2\right)-2308+1632\sqrt 2}\approx 34.224\,125\,222\,6\% \end{eqnarray*}$

anscheinend fehlt es dir an Genauigkeit. Big Laugh

Big Laugh

( oder auch mir !)

@Dopap
Statt Deiner Formel für den Radius habe ich etwas anderes raus. Auch Dein Wert für $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ liegt daneben. Elvis hat ihn richtig berechnet. Im folgenden zeige ich, wie ich das gerechnet habe.
Zunächst kommt mal die Badeinsel dran. Sie ist in einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck als Inkreis untergebracht. Betrachten wir das blaue Dreieck DEF. Sei r das Verhältnis, von Inkreisradius zu einer Kathete des äußeren Dreiecks. Dann gilt die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 2\left(r-\frac 12\right)^2=r^2 \end{eqnarray*}$ das führt auf $\begin{eqnarray*} r=1-\sqrt{\frac 12} \end{eqnarray*}$
[attach]51429[/attach]
Wenn wir nun von einem Einheitsquadrat der Kantenlänge 1 als Badefläche ausgehen, dann ordne ich die Luftmatratze neben die Badeinsel und bestimme deren Anteil an der Badefläche. Die Luftmatratze hat die Fläche x(1-x) und die Badeinsel dann den Radius $\begin{eqnarray*} R=(1-x)r=(1-x)\left(1-\sqrt{\frac 12}\right) \end{eqnarray*}$ [attach]51432[/attach]
Dann wird ein Flächenanteil von $\begin{eqnarray*} \eta=x(1-x)+\pi (1-x)^2\,\left(1-\sqrt{\frac 12}\right)^2 \end{eqnarray*}$ bedeckt.
Die weitere Rechnung habe ich mit Maple durchgeführt, und kann die Resultate von Elvis und Leopold daher bestätigen.

07.06.2020, 17:41

Leopold

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Das ist wieder mal ein richtiger Ruhnau.
Keines von den Ergebnissen Dopaps ist falsch. Warum behauptest du so etwas? Nur weil du "etwas anderes" heraus hast, muß das erstere ja nicht falsch sein. Einfach einmal darüber nachdenken. Das ist übrigens auch sonst eine empfehlenswerte Herangehensweise: Nachdenken, bevor man sich zu apodiktischen Äußerungen hinreißen läßt.

07.06.2020, 17:52

Elvis

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Zitat:

Original von Leopold
Wem kann man heute noch trauen!

WolframAlpha ?

08.06.2020, 01:43

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Leopold
Keines von den Ergebnissen Dopaps ist falsch. Warum behauptest du so etwas? Nur weil du "etwas anderes" heraus hast, muß das erstere ja nicht falsch sein.

@Leopold
Wenn Dopaps Ergebnisse Deiner Meinung nach nicht falsch sind, warum hast Du dann andere Ergebnisse als er? unglücklich

unglücklich

Ich finde Deinen Kommentar gegen mich sehr unlogisch. Erstaunt1

Erstaunt1

08.06.2020, 02:38

Dopap

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Zitat:

Original von Leopold

Über die große Abweichung bei der numerischen Berechnung der termalgebraisch identischen Werte bin ich auch erstaunt. Es mag zum Teil an der Division "klein durch klein" liegen:

$\begin{align*} \underbrace{\frac{408 \sqrt{2} - 577}{\pi \left( 6726 - 4756 \sqrt{2} \right) - 2308 + 1632 \sqrt{2}} }_{\color{red}\text{angeblich exakter Term}}= \frac{-0{,}00086655177722150256}{-0{,}0025320433514934848} = 0{,}34223417885416 \end{align*}$

Vielleicht hast du das nicht mitgekriegt: Mein TR besitzt den EXACT-MODUS und er hat auch brav die Wurzel und das Pi nicht rational gemacht. Jedenfalls in den letzten 15 Jahren nicht.

Für approximatives Rechnen kann ich z.B das flag "use tiny elements" setzen oder nicht, gut wenn in eine Matrix noch Pseudonullen 10^(-12) etc. enthält was aber nicht wichtig ist da er den Gauß sowieso nur exakt durchführt.

Meine momentane Idee: ich benutze auf dem Laptop seit 6 Jahren eine Simulation des hp 60g ....
und werde mir gelegentlich eine frische Knopfzelle für das Original besorgen.
Du kannst meinen Verdacht sicher nachvollziehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

----------------------------------
@Elvis: und zu welchem Ranking von a.),b.), c.) bist du gekommen ?
P.S. schöne Zeichnungen

08.06.2020, 07:22

Elvis

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Das Wort "Ranking" verstehe ich nicht. Weil deine Aufgabe die Möglichkeit angedeutet hat, dass die Lösung ein Anordnungsproblem sein könnte, habe ich alle möglichen Anordnungen betrachtet und bewiesen, dass die Lösung in allen Fällen gleich ist. Danach habe ich die Lösung manuell exakt berechnet und für Liebhaber von Prozentangaben bei WolframAlpha näherungsweise dezimal darstellen lassen.

P. S. Deine Geometrieaufgaben sind große Klasse. Ich würde mich freuen, wenn da noch viel mehr kommt und der Schwierigkeitsgrad darf auch gerne steigen.

08.06.2020, 07:32

Leopold

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
@Leopold
Wenn Dopaps Ergebnisse Deiner Meinung nach nicht falsch sind, warum hast Du dann andere Ergebnisse als er?

Erweitere den Bruch $\begin{align*} \frac{408 \sqrt{2} - 577}{\pi \left( 6726 - 4756 \sqrt{2} \right) - 2308 + 1632 \sqrt{2}} \end{align*}$ mit $\begin{align*} -408 \sqrt{2} - 577 \end{align*}$ .

08.06.2020, 08:06

Dopap

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Zitat:

Original von Elvis
Das Wort "Ranking" verstehe ich nicht. [...]

Sorry ich hab' deinen Bleistift-auf-Papier scan nicht wirklich studiert...
Aber dann betrachte "Ranking" eben mathematisch wie z.B. "Monotonie" Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.06.2020, 08:20

Elvis

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Die Definition ist gut, bei jeder Rangordnung gibt es wegen a=a immer auch gleichrangige Elemente. Mit anderen Worten : jede Ordnungsrelation ist reflexiv. Im Planschbecken sind alle gleich, in den USA muss man noch nach Farben sortieren.

08.06.2020, 13:25

quadrierer

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Alles was sich elementar mit einer gezeichneten Sequenz von Kreisen und Geraden berechnen lässt, kann auch in ein Berechnen mit reellen Zahlen als Rechengrössen übergeführt werden.
In einer dynamischen Zeichnung (dynamisches Kohärenz-System) erzeuge ich mit einem gezeichneten Berechnen, nur mit Kreis und Gerade, die Summe-Fläche von Kreis und Rechteck als schwarz umrahmtes Summe-Quadrat.
[attach]51451[/attach]
[attach]51453[/attach]

Wird der Mittelpunkt vom roten Kreis als unabhängig Variable entlang des gestrichelten Strahls (halbierter Winkel) im Zugmodus bewegt, durchläuft die Summe-Fläche ein Maximum und so auch die Grösse der erzeugten senkrechten Quadratseiten.
Der Verlauf der roten Schnittpunkt-Kurve von unabhängiger Variabler (Senkrechte durch Kreismittelpunkt) und abhängiger Variablen (Gerade durch obere Quadratseite), zeigt im Verlauf ein Maximum. Diese Kurve ersetze ich im Ergebnisbereich durch ihren Krümmungskreis, der im Ergebnisbereich durch eng benachbarte drei gezeichnet exakt berechnete Kurvenpunkte gelegt wird. Mit dem Krümmungskreis wird eine Berechnung des Maximums (maximale Grösse der Summe-Quadratseite) und der zugehörigen Stelle des Kreismittelpunktes mit den hierzu bekannten Methoden möglich.
In den beiden Bildern ist das maximale Summe-Quadrat mit gestrichelten Seiten eingezeichnet.

08.06.2020, 18:05

Elvis

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Zitat:

Original von quadrierer
Alles was sich elementar mit einer gezeichneten Sequenz von Kreisen und Geraden berechnen lässt, kann auch in ein Berechnen mit reellen Zahlen als Rechengrössen übergeführt werden.

Nach Galois ist völlig klar, welche reellen Zahlen konstruiert werden können und welche nicht. Kreise und Geraden berechnen überhaupt nichts. Wer Ergebnisse haben will, muss rechnen. Bildchen sind schön, aber sinnlos.

08.06.2020, 19:03

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
Bildchen sind schön, aber sinnlos.

Jetzt übertreibst du aber. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hätte gesagt: Bildchen sind schön und für die geometrische Intuition wertvoll, genügen aber niemals als Beweis.

08.06.2020, 19:59

Elvis

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Loriot hat auch übertrieben als er sagte : „Ein Leben ohne Mops ist möglich, aber sinnlos". Manchmal darf man überspitzt formulieren um ein Anliegen deutlich zu machen.

09.06.2020, 08:53

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold
... Ich hätte gesagt: Bildchen sind schön und für die geometrische Intuition wertvoll, genügen aber niemals als Beweis.

Wie sieht hier dann dann der ideale Beweis mit und ohne Bildchen aus?

09.06.2020, 11:27

Elvis

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Der ideale Beweis existiert nicht. Ein guter Beweis mit und ohne Bildchen ergibt sich z.B. dadurch, dass man meine Lösung verbessert indem man sie in den Variablenbezeichnungen vereinheitlicht, ordnet, mit Erläuterungen sparsam ergänzt und soweit wie möglich kürzt.

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