Konvergenzradien Verwandter Reihe

06.06.2020, 23:23	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradien Verwandter Reihe Guten Abend zusammen, Ich soll folgende Aufgabe lösen: Sei R der Konvergenzradius der Potenzreihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kz^{k} \end{eqnarray}$ Bestimme jeweils den Konvergenzradius der folgenden Reihe: (i) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kz^{2k} \end{eqnarray}$ dieses z^{2k} irritiert mich... (ii) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty}(a_k)^{2}z^{k} \end{eqnarray}$ Ich Würde vermuten $\begin{eqnarray} R^{2} \end{eqnarray}$ da man ja nur a_k zur berechnung des Konvergenzradius heranzieht? (iii) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty}(a_k)^{2}z^{2k} \end{eqnarray}$ Was mache ich mit den z^(2k)? diese 2 irritiert mich... (iv) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{a_k}{k!}z^{k} \end{eqnarray}$ Tipp $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty \end{eqnarray}$ geht das gegen 0 ? aber wie erkläre ich das??? iwie so $\begin{eqnarray} R=(limsup \sqrt[k]{\|\frac{a_k}{k!}}\| )^{-1}= (limsup \frac{\sqrt[k]{a_k} }{\sqrt[k]{k!} })^{-1}=(\frac{\limsup \sqrt[k]{a_k} }{\limsup \sqrt[k]{k!} })^{-1}=... \end{eqnarray}$ obwohl ne das macht auch keine sinn ,... helft mir bitte
07.06.2020, 16:58	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner ne Idee? Hätte jetzt bei (I) wurzel R Bei (iii) R^2 Aber muss das ja auch iwie bestimmen, abee wie?
07.06.2020, 17:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradien Verwandter Reihe Bei i) Definiere $\begin{eqnarray} b_n = \begin{cases} a_{n/2} & \text{ wenn } n \text{ gerade } \\ 0 & \text{ wenn } n \text{ ungerade } \end{cases} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kz^{2k} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}b_kz^{k} \end{eqnarray}$ . Hier kannst du den Konvergenzradius nun per Definition ausrechnen. Bei ii) Vermutung passt, aber du kannst es per Definition auch leicht zeigen. Bei iii) Analog zu i). Bei iv) Fallunterscheidung. Ist $\begin{eqnarray} R = 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} R> 0 \end{eqnarray}$ . Im ersten Fall kannst du keine Aussage machen, im zweiten hingegen schon.

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