Gleichmäßige Konvergenz von x^n

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Elarian Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz von x^n
Meine Frage:
Hallo smile

Ich habe eine Frage zur gleichmäßigen Stetigkeit der Folge x^n. Auf Wikipedia (siehe Anhang) steht, dass die Folge für x aus [0, q] gleichmäßig konvergiert, wobei 0 < q < 1 ist. Soweit verstehe ich, wie das die Voraussetzung erfüllt.

Anschließend steht jedoch, dass x^n auf dem Intervall [0, 1) nicht gleichmäßig konvergiert, da hier das Supremum 1 ist.

Wo ist der Unterschied zwischen diesen beiden Angaben?


Meine Ideen:
Wenn q ohnehin nur zwischen 0 und 1 gewählt werden darf, ist das Supremum auf den Intervallen [0, q] und [0, 1) dann nicht identisch? Sofern x kleiner als 1 ist (wenn auch nur minimal), müsste x^n mit n -> unendlich nicht trotzdem gegen 0 konvergieren?

Oder hat das mit der Tatsache zu tun, dass [0,1) rechts halboffen ist?

Besten Dank im Voraus smile
Alles Liebe
Ela
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz von x^n
Zitat:
Original von Elarian

Wenn q ohnehin nur zwischen 0 und 1 gewählt werden darf, ist das Supremum auf den Intervallen [0, q] und [0, 1) dann nicht identisch?

Nein, im ersten Fall ist es , im zweiten 1, denn ist ja stetig auf [0;1).

Zitat:
Original von Elarian
Sofern x kleiner als 1 ist (wenn auch nur minimal), müsste x^n mit n -> unendlich nicht trotzdem gegen 0 konvergieren?

Ja, aber das hat nichts mit der Art der Konvergenz zu tun. Es geht hier um die Frage, ob eine punktweise oder gleichmässige Konvergenz vorliegt.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz von x^n
Zitat:

Oder hat das mit der Tatsache zu tun, dass [0,1) rechts halboffen ist?
Ela


Die Definition der gleichmäßigen Konvergenz steht ja auf deinem Bild. Was ist denn sup x^n für x Element [0, 1) für ein festes n? Was für [0, q] mit q < 1?
Wenn du das richtig beantwortest hast du auch die Antwort auf deine eigentliche Frage.
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