Rautenparkettierung

07.06.2020, 13:04

darkweather

Rautenparkettierung

Hallo,

es geht um zentralsymmetrische Rautenparkettierung, siehe Skizze im Anhang.

Es sei $\begin{eqnarray*} \alpha_k^m \end{eqnarray*}$ der zum Mittelpunkt des äußeren, regelmäßigen Vielecks gerichtete, innere Rautenwinkel der k-ten Rautenschicht von innen nach außen betrachtet, wobei m die Rautenanzahl der jeweiligen Schicht angibt.
Der andere Winkel in der jeweiligen Raute wird entsprechend mit $\begin{eqnarray*} \beta_k^m \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Zunächst soll man die entsprechenden Rautenwinkel für m=12 angeben.

Als Startwinkel kam ich zunächst auf $\begin{eqnarray*} \alpha_1^{12}=360°:12=30° \end{eqnarray*}$

Generell ergeben zwei nebeneinander liegende Winkel in einer Raute stets 180°.
Daher gilt offenbar $\begin{eqnarray*} \beta_k^m=180°-\alpha_k^m \end{eqnarray*}$ und damit hier $\begin{eqnarray*} \beta_1^{12}=180°-30°=150° \end{eqnarray*}$ .

Durch gedachte Symmetrieachsen, ausgehend vom Vieleckmittelpunkt, konnte man sich die restlichen 4 Alpha-Winkel erschließen. Damit kam ich auf:

$\begin{eqnarray*} \alpha_2^{12}=(180°-150°) \cdot 2=60° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_3^{12}=(180°-120°-\frac{30°}{2}) \cdot 2=90° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_4^{12}=(180°-90°-\frac{60°}{2}) \cdot 2=120° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_5^{12}=(180°-60°-\frac{90°}{2}) \cdot 2=150° \end{eqnarray*}$

Soweit in Ordnung ?

Jetzt soll man das ganze verallgemeinern und da habe ich mir folgendes rekursiv überlegt:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1^m=\frac{360°}{m} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_{k+1}^m=2 \cdot \alpha_k^m-(k-1) \cdot \frac{360°}{m} \end{eqnarray*}$

Falls das so passt, wie könnte ich das am besten beweisen ?
Eine Möglichkeit wäre wohl Induktion über k, aber da hapert es bei mir am Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \alpha_{k+2}^m=4 \cdot \alpha_k^m-(3k-2) \cdot \frac{360°}{m} \end{eqnarray*}$

Das erhalte ich durch Einsetzen von $\begin{eqnarray*} \alpha_{k+1}^m \end{eqnarray*}$ , komme dann aber nicht weiter.

07.06.2020, 15:08

darkweather

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Alternativer Gedanke:

Ist es explizit einfach nur $\begin{eqnarray*} \alpha_k^m=k \cdot \frac{360°}{m} \end{eqnarray*}$ weil pro zusätzlicher Schicht k ein Startwinkel $\begin{eqnarray*} \frac{360°}{m} \end{eqnarray*}$ dazu addiert wird ?

Wenn ja, wie könnte man das sauber begründen/beweisen ?

07.06.2020, 16:03

hawe

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RE: Rautenparkettierung
Ich hab einen Ausschnitt der Rosette in GeoGebra nachgebaut.
An dem Modell kannst Du alles nachmessen/herauslesen was Du brauchst.

Es sind 3 Vielecke n=12

oder als Variation 3 Vielecke n=8

Müsste dann fertig konstruiert werden, wenn Du damit die abgebildete Rosette ausmessen willst.

[attach]51430[/attach]

07.06.2020, 18:08

darkweather

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Exakte Skizzen hatte ich ja bereits angehangen und mit den konkreten Winkeln für m=12 bin ich mir eigentlich recht sicher.

Es geht mir eher um das Verständnis für eine allgemeine Formel der Winkel für beliebige m und k.

Hat jemand dazu Ideen oder Anmerkungen, insbesondere bezogen auf meine eigenen Ansätze :

Zitat:

Alternativer Gedanke: Ist es explizit einfach nur $\begin{eqnarray*} \alpha_k^m=k \cdot \frac{360^\circ}{m} \end{eqnarray*}$ weil pro zusätzlicher Schicht k ein Startwinkel $\begin{eqnarray*} \frac{360^\circ}{m} \end{eqnarray*}$ dazu addiert wird ? Wenn ja, wie könnte man das sauber begründen/beweisen ?

Oder aber dazu:

Zitat:

Jetzt soll man das ganze verallgemeinern und da habe ich mir folgendes rekursiv überlegt:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1^m=\frac{360^\circ}{m} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_{k+1}^m=2 \cdot \alpha_k^m-(k-1) \cdot \frac{360^\circ}{m} \end{eqnarray*}$

07.06.2020, 19:59

Leopold

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Man könnte es so machen. Es gilt

$\begin{align*} \alpha_{k+2}^m + 2 \cdot \left( 180^{\circ} - \alpha_{k+1}^m \right) + \alpha_k^m = 360^{\circ} \end{align*}$

[attach]51435[/attach]

Daraus erhält man die Rekursion:

$\begin{align*} \alpha_{k+2}^m = 2 \alpha_{k+1}^m - \alpha_k^m \, , \ \ k \geq 0 \end{align*}$

Es geht los mit

$\begin{align*} \alpha_0^m = 0^{\circ} \, , \ \ \alpha_1^m = \frac{360^{\circ}}{m} \end{align*}$

Und es geht gut, solange $\begin{align*} \alpha_{k+2}^m < 180^{\circ} \end{align*}$ ist.

Du hattest den Verdacht, daß die explizite Vorschrift

$\begin{align*} \alpha_k^m = \frac{k}{m} \cdot 360^{\circ} \end{align*}$

gilt. Das kannst du leicht nachweisen. Berechne mit Hilfe der expliziten Vorschrift $\begin{align*} \alpha_0^m \end{align*}$ und $\begin{align*} \alpha_1^m \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \alpha_{k+2}^m - 2 \alpha_{k+1}^m + \alpha_k^m \end{align*}$ . Wenn in allen drei Rechnungen dasselbe herauskommt wie bei der rekursiven Vorschrift, dann ist der Beweis erbracht. Denn zwei Folgen, die dieselben Startwerte haben und derselben rekursiven Vorschrift gehorchen, müssen gleich sein.

08.06.2020, 09:31

darkweather

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Vielen Dank für deine Antwort.

Ich habe die drei von dir erwähnten Rechnungen durchgeführt.
Die Übereinstimmung der beiden Startwerte konnte man direkt sehen und beim letzten Term kam wie gewünscht 0° raus.

Auch bei meiner Rekursion hat das geklappt.

Da du in deiner Rekursion mit der "Vollkreis-Gleichung" von etwas direkt offensichtlichem, aus der Konstruktion folgendem, ausgegangen bist, muss man da eigentlich auch nichts weiter beweisen, oder sehe ich das falsch ?

Und noch eine Nachfrage:

Kann man den Zusammenhang, dass der Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha_k^m \end{eqnarray*}$ pro zusätzlicher Schicht k offenbar immer um $\begin{eqnarray*} \alpha_1^m=\frac{360°}{m} \end{eqnarray*}$ ansteigt, irgendwie auch geometrisch begründen ?

08.06.2020, 13:03

darkweather

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Ein Versuch für einen anschaulichen Zugang zur Verdeutlichung von $\begin{eqnarray*} a_k^m=k \cdot \frac{360°}{m} \end{eqnarray*}$ :

Am Beispiel für m=12 sieht man durch die 5 eingezeichneten Hilfslinien, dass sich ausgehend von $\begin{eqnarray*} \alpha_1^m=\frac{360°}{m} \end{eqnarray*}$ alle weiteren Alpha-Winkel durch die Drehung der untersten (Start)Achse um jeweils $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha_1}{2} \end{eqnarray*}$ pro neue Schicht gegen den Uhrzeigersinn ergeben.
Die Winkel erhält man jeweils unter Nutzung von Stufenwinkeln und Symmetrieachsen der Rauten (siehe Skizze).

Es resultieren die folgenden Winkel:

$\begin{eqnarray*} \alpha_2^{12}=2 \cdot \alpha_1^{12}=2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \alpha_1^{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_3^{12}=2 \cdot 1,5\alpha_1^{12}=2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \alpha_1^{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_4^{12}=2 \cdot 2\alpha_1^{12}=2 \cdot \frac{4}{2} \cdot \alpha_1^{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_5^{12}=2 \cdot 2,5\alpha_1^{12}=2 \cdot \frac{5}{2} \cdot \alpha_1^{12} \end{eqnarray*}$

und damit allgemein

$\begin{eqnarray*} \alpha_k^{m}=2 \cdot \frac{k}{2} \cdot \alpha_1^{m}=k \cdot \frac{360°}{m} \end{eqnarray*}$

Hat diese Idee Potential für einen weiteren Beweis der expliziten Vorschrift oder eher nicht ?

10.06.2020, 09:40

darkweather

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Etwas weiter ausgeführt wäre meine Idee:

Unmittelbar aus der Konstruktion der Parkettierung von innen nach außen ergibt sich – wie im Zwölfeck bereits angedeutet – dass mit jedem Drehen der schwarz markierten Achse um den Winkel $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha_1^m}{2} \end{eqnarray*}$ sofort in einer weiteren der k Rautenschichten der entsprechende Winkel $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{\alpha_1^m}{2}=\frac{360°}{m} \end{eqnarray*}$ entsteht (Stufenwinkel und Symmetrie), was genau die explizite Gleichung ausdrückt.

Ausgehend vom Startwinkel $\begin{eqnarray*} \alpha_1^m=\frac{360°}{m} \end{eqnarray*}$ folgt für den Induktionsschritt genau der eben beschriebene Zusammenhang durch $\begin{eqnarray*} \alpha_{k+1}^m=k \cdot \frac{360°}{m}+\frac{360°}{m}=(k+1) \cdot \frac{360°}{m} \end{eqnarray*}$

Mag jemand nochmal drüberschauen und mir sagen, ob das Sinn macht oder schwammig/falsch ist ?

10.06.2020, 23:26

rumar

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Zitat:

Skizzen hatte ich ja bereits angehangen

Sorry - aber das bereitet mir einfach Schmerzen !

Das muss doch "angehängt" heißen .....

Im Übrigen freue ich mich ja sehr an solchen geometrischen Gedanken !

11.06.2020, 10:52

darkweather1

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Zitat:

Das muss doch "angehängt" heißen .....

Mag sein, dass es für dich falsch klingt. Du irrst dich jedoch in der Hinsicht, dass es so heißen MUSS.

Zitat:

Im Übrigen freue ich mich ja sehr an solchen geometrischen Gedanken !

Viel Interesse scheint es offenbar nicht zu geben, sich mit dem Thema, geschweige denn meinen Ideen, zu befassen.

Vermutlich ist es zu banal, da die Gedanken zur Winkelbestimmungen auf dem Stoff der 6. oder 7. Klasse beruhen und erregt daher nicht so viel Aufmerksamkeit.

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