Gleichung einer Epizykloide

07.06.2020, 17:06	Malou2016	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung einer Epizykloide Meine Frage: Wenn ein Kreis $\begin{eqnarray} K_{1} \end{eqnarray}$ vom Radius $\begin{eqnarray} r_{1} \end{eqnarray}$ außen auf einem Kreis $\begin{eqnarray} K_{2} \end{eqnarray}$ vom Radius $\begin{eqnarray} r_{2} \end{eqnarray}$ abrollt, beschreibt ein auf dem Kreisumfang von $\begin{eqnarray} K_{1} \end{eqnarray}$ fixierter Punkt eine sogenannte Epizykloide. a) Leiten sie die Gleichung der Epizykloide für den Fall $\begin{eqnarray} r_{1}=r_{2} \end{eqnarray}$ und den Startpunkt $\begin{eqnarray} x_{0}=(0,0) \end{eqnarray}$ her. Dabei seinen die Mittelpunkte von $\begin{eqnarray} K_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K_{2} \end{eqnarray}$ anfänglich $\begin{eqnarray} (r_{1},0) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} (-r_{2},0) \end{eqnarray}$ . b) fertigen sie eine Skizze an. Meine Ideen: Zu a) Grundsätzlich weiß ich, dass es sich für den Fall $\begin{eqnarray} r_{1}=r_{2} \end{eqnarray}$ um eine Kardioide handelt. Und habe auch bereits mehrere Gleichungen für die Darstellung gefunden. Jedoch weiß ich nicht, welche ich verwenden soll (Parameterdarstellung, Polardarstellung oder Kartesische Koordinaten) und wie ich dies herleiten soll. Zu b) Die Skizze dazu habe ich mal angehängt. Passt das so?
10.06.2020, 07:17	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung einer Epizykloide Der Mittelpunkt von Kreis 1 bewegt sich um den Kreis 2 herum nach der Formel: $\begin{eqnarray} \vec m_1(\varphi)=\begin{pmatrix} (r_1+r_2)\cos\varphi-r_2 \\ (r_1+r_2)\sin\varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Randpunkt von Kreis 1 bewegt sich gegenüber dem Mittelpunkt von Kreis 1 nach der Formel: $\begin{eqnarray} \vec r_1(\psi)=\begin{pmatrix} -r_1\cos\psi \\ -r_1\sin\psi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei für die Winkel $\begin{eqnarray} r_1\psi=(r_1+r_2)\,\varphi \end{eqnarray}$ gilt. (Fehler korrigiert) Jetzt mußt Du nur noch beides zusammensetzen. Gestartet wird bei $\begin{eqnarray} \varphi=0 \end{eqnarray}$
10.06.2020, 09:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Anhang eine dynamische Zeichnung mit einer Epizykloide, zu öffnen mit Euklid. Klicke auf "Animation" und starte diese.
10.06.2020, 10:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man übrigens auch mit dem Board-Parameterplotter zeichnen lassen:

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