Eigenwerte und Eigenräume

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Jekyllvshyde Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte und Eigenräume
Meine Frage:
Hallo und schönen guten Abend zusammen. Ich habe eine Aufgabe bei der ich nicht so richtig weiterkomme.

Sei (V,<,>) ein reeller Innenproduktraum mit und . Ferner seien f,g : V->V definiert durch f:=<x,v>w und g:=<x,w>v.

Bestimme die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenräume von f.

Meine Ideen:
Es gilt für Eigenwerte und Eigenvektoren
also (S)
Man erkennt sofort das für alle Vektoren x die Senkrecht auf v stehen der Eigenwert 0 ist. Und erhält dann den Eigenraum Kern(f) wobei hier natürlich auch die 0 ausgeschlossen werden muss. Aber die 0 ist ja sicherlich nicht der einzige Eigenwert. Und nach umstellen kann ich (S) ja irgend wie auch nicht, da die Vektordivision nicht definiert ist. Ich habe jetzt probiert mit dem Innenprodukt etwas rumzuspielen aber da bin ich auch auf nichts vernünftiges gekommen. Da g zwar zu f die adjungierte ist aber f nicht normal ist kann ich hier auch schlecht weiter argumentieren, zumindest meines Wissens. Wäre schön wenn mir noch jemand einen Tritt in die richtige Richtung geben könnte.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jekyllvshyde
Ferner seien f,g : V->V definiert durch f:=<x,v>w und g:=<x,w>v.

Da du die Argumente weggelassen hast: Das soll wohl sowie bedeuten? verwirrt

Zu eigentlichen Thema: Ein weiterer erkennbarer Eigenvektor ist , und zwar zum Eigenwert .
Jekyllvshyde Auf diesen Beitrag antworten »

Guten morgen,
oh ja die Argumente habe ich vergessen.

Omg, natürlich ist w noch ein Eigenvektor. Ich hatte die Formel (S) auch schon soweit umgestellt.
für x steht nicht senkrecht auf v, da lambda dann ungleich 0 ist. Ich hatte hier auch schon drüber nachgedacht dass lambda gleich <x,v> ist wenn x=w aber da habe ich dann auf dem Schlauch gestanden. Obwohl hier sofort klar werden sollte dass w ein Eigenvektor mit Lambda gleich <w,v> ist. Dann ist der Eigenraum einfach {w}. Alles unter der Vorraussetzung dass w und v nicht orthogonal sind, wobei das hier ja wegfällt da x nicht senkrecht auf v stehen kann und w gleich x ist.

Das dies alle Eigenwerte sind habe ich so erklärt. Das Bild von f ist die lineare Hülle von w, da x nur im Innenprodukt vorkommt und somit nur das Skalar vor w beinflusst. Die Dimension vom Bild ist also 1. Mit der Dimensionsformel folgt dann, wenn die Dimension von V mit n definiert wird, dim(ker f)=dim(V)-dim(im f) = n - 1.
Also ist = 0 ein n-1 facher Eigenwert, da ker f gleich dem Eigenraum zum Eigenwert 0 ist.
Der zweite Eigenraum {w}, hat also die Dimension 1.

Kann ich das so Argumentieren? (natürlich in Formeln, ich bin nur nicht der größte Latex Profi ;-) )

Vielen Dank für die schnelle Hilfe.
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