Äquivalenz von Punktpaaren in Gittern

08.06.2020, 00:01

IronPhoenix

Äquivalenz von Punktpaaren in Gittern

Ich beschäftige mich zur Zeit mit grundlegenden Eigenschaften von Gittern um zu ermitteln wie am einfachsten eine systematische Analyse bestimmter (Mengen von) Konfigurationen durchgeführt werden kann. Die zentrale Frage ist dabei wie man für ein bestimmtes Gitter entscheiden kann ob Paare von Punkten mit gleichem Abstand immer äquivalent sind, also durch Symmetrieoperationen des Gitters aufeinander abgebildet werden können. Im Prinzip kann man natürlich immer versuchen die Transformationsmatrix für den Übergang zwischen Verbindungsvektoren der Punktpaare als Matrixprodukt der Symmetrieoperationen auszudrücken. Dann müsste man die Transformationsmatrix entweder explizit konstruieren oder beweisen dass dies im allgemeinen Fall nicht möglich ist. Das wird aber selbst für die einfachsten Gitter bereits ziemlich länglich bzw. schwierig.

Daher möchte ich es hier zunächst mit einem einfachen Beispiel versuchen und sehen ob die direkte Rechnung funktioniert bzw. ob noch ein anderer Lösungsweg angegeben wird.

Man betrachte ein 2D quadratisches Gitter mit den Basisvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das Gitter ist also gegeben durch $\begin{eqnarray*} G=\left\{\vec{x}=k\vec{a}+l\vec{b}|k,l\in\mathbb Z\right\} \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt meine Frage.

Können $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ stets durch Symmetrieoperationen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auf einander abgebildet werden?

08.06.2020, 01:50

Ulrich Ruhnau

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RE: Äquivalenz von Punktpaaren in Gittern
Was verstehst Du hier unter einer Symmetrieoperation?

08.06.2020, 11:34

IronPhoenix

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Im konkreten Fall waeren das Drehungen und Spiegelungen die das Gitter invariant lassen. Mit dem Koordinatenursprung als Zentrum koennte man z.B. das Gitter um 90 Grad drehen so dass es wieder auf sich selbst abgebildet wird. Ein anderes Beispiel waere die Spiegelung des Gitters am Koordinatenursprung.
Entsprechend Translationen gibt es natuerlich auch. Dieser Teil ist jedoch trivial, weil man o. B. d. A. davon ausgehen kann, dass der Fusspunkt der Verbindungsvektoren stets der Koordinatenursprung ist.

Meine Gruppentheorie ist mittlerweile etwas eingerostet, aber wenn ich mich richtig erinnere gehoert dieses Gitter zur C4v-Gruppe.

08.06.2020, 12:47

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RE: Äquivalenz von Punktpaaren in Gittern

Zitat:

Original von IronPhoenix
Und jetzt meine Frage.

Können $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ stets durch Symmetrieoperationen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auf einander abgebildet werden?

Das kann irgendwie nicht die Frage sein. Die Punkte sollen gleich sein? verwirrt

08.06.2020, 14:42

IronPhoenix

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Ups!

Ja, da hab ich die Vektorpfeile vergessen.

Es muesste natuerlich $\begin{eqnarray*} \vec{x}_1,\vec{x}_2\in G \end{eqnarray*}$ heissen.

$\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass die Vektoren gleich lang sind.

10.06.2020, 18:50

IronPhoenix

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Hmm ... ich denke man muesste sich mal ueberlegen ob bzw. wann eine Spiegelung an
$\begin{eqnarray*} G: \vec{0}+\alpha(\vec{x}_1+\vec{x}_2) \ \text{mit} \ \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
das Gitter invariant laesst.

10.06.2020, 19:42

IronPhoenix

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Die Frage ist also ob man
$\begin{eqnarray*} \vec{x}_1,\vec{x}_2\in G \ \text{mit} \ x_1=x_2 \end{eqnarray*}$
finden kann, so dass $\begin{eqnarray*} \vec{x}_1+\vec{x}_2 \end{eqnarray*}$ nicht auf einer Symmetrieachse des Gitters liegt bzw. was man dann macht (Drehungen miteinbeziehen?).

10.06.2020, 20:55

IfindU

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RE: Äquivalenz von Punktpaaren in Gittern
Mir fehlt die Phantasie für die Paare $\begin{eqnarray*} (4,3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (5,0) \end{eqnarray*}$ .

Findest du hier etwas?

12.06.2020, 00:16

IronPhoenix

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@IfindU: Da fällt mir auch nix ein. Findest du zwei derartige Punkte auch für ein hexagonales Gitter?

12.06.2020, 12:01

Elvis

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Vor hundert Jahren, als die Geometrie noch eines der wichtigsten Gebiete der Mathematik war, hätte man vielleicht die folgende "Symmetrie" erwähnt.

Definition: Man sagt, die komplexen Punkte $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde z \end{eqnarray*}$ auf zwei verschiedenen Geraden $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde l \end{eqnarray*}$ liegen perspektiv, und die Abbildung, die $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \tilde l \end{eqnarray*}$ abbildet heißt Perspektivität, wenn es einen komplexen Punkt $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ gibt, der weder auf $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ noch auf $\begin{eqnarray*} \tilde l \end{eqnarray*}$ liegt, so dass es für jedes $\begin{eqnarray*} z\in l \end{eqnarray*}$ eine Gerade gibt, die $\begin{eqnarray*} z,z_0,\tilde z \end{eqnarray*}$ enthält. Der Punkt $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ heißt Zentrum der Perspektivität.

Theorem: Jede Perspektivität kann durch eine Möbiustransformation $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ mit 2 Fixpunkten dargestellt werden.

Korollar: Wenn die Möbiustransformation $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ eine Perspektivität darstellt, dann sind die Fixpunkte $\begin{eqnarray*} z_0,Z_0 \end{eqnarray*}$ und die Pole $\begin{eqnarray*} z_{\infty},Z_{\infty} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} H^{-1} \end{eqnarray*}$ gegenüberliegende Paare einer Gittermasche, die das charakteristische Parallelogramm von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ genannt wird.

(Meine Übersetzung aus Hans Schwerdtfeger "Geometry of Complex Numbers" §7 "Real one-dimensional projectivities". Beweise sind nichttrivial, und die angehängte Figur stammt auch von ihm.)

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