Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung

08.06.2020, 09:26

Dopap

Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung

[attach]51441[/attach]

Je zwei Punkte einer Punktmenge von N Elementen haben ihre Distanz. Hier sind einige der Distanzen als Strecken gezeichnet. Davon gibt es (mindestens) eine rote Strecke von maximaler Länge $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$

Dann lässt sich diese Punktmenge immer mit einem gleichseitigen blauen Dreieck der Seitenlänge $\begin{eqnarray*} D=\sqrt3 d \end{eqnarray*}$ umschließen.
Wie konstruiert man ein solches Dreieck und weshalb gilt obige Beziehung?

08.06.2020, 09:42

willyengland

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Und was wäre mit:

[attach]51442[/attach]

08.06.2020, 09:46

HAL 9000

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In Dopaps Skizze steht die Rotfärbung für die längste der Verbindungstrecken - in deiner Skizze jedoch nicht. Vielleicht hast du

Zitat:

Original von Dopap
Je zwei Punkte einer Punktmenge von N Elementen haben ihre Distanz.

nicht gelesen...

08.06.2020, 09:59

Elvis

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Die Sache mit dem Dreieck gilt vermutlich nur für ebene Punktmengen in der euklidischen Geometrie. Ist als Distanz auch die gewöhnliche euklidische Metrik gemeint? Oder darf ich nach Gegenbeispielen in anderen metrischen Räumen suchen?

08.06.2020, 10:01

willyengland

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Ah, ok, habe es falsch verstanden, ich dachte, es geht um Strecken, aber es geht um Punkte.

08.06.2020, 10:29

Bürgi

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RE: Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung
Guten Tag

Zitat:

Wie konstruiert man ein solches Dreieck ....?

Vielleicht so?

(alle blauen Linie haben die Länge 1, die grüne Linie hat deshalb die Länge $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

[attach]51443[/attach]

08.06.2020, 10:46

riwe

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RE: Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung
oder vielleicht so verwirrt

08.06.2020, 13:17

Elvis

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Sind $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Punkte mit größtem Abstand $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ , so liegen alle Punkte der Menge im Durchschnitt $\begin{eqnarray*} PAQB \end{eqnarray*}$ der beiden Kreise um $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} RST \end{eqnarray*}$ ist ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $\begin{eqnarray*} D=d*\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ . Läge ein Punkt der Menge näher an $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ als an $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , dann spiegeln wir das Dreieck $\begin{eqnarray*} RST \end{eqnarray*}$ an der Gerade $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ . weit oben oder weit unten können nicht gleichzeitig Punkte liegen, sonst wäre deren Abstand größer als $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ . (Anschaulich klar, wo bleibt der Beweis? Ich argumentiere schon fast wie quadrierer, wo soll das noch enden ?)

08.06.2020, 14:12

HAL 9000

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Eins ist wohl allen nach etwas Beschäftigung mit dem Problem klar: Man kann das Umfassungsdreieck nicht allein aus Kenntnis der Lage der längsten Strecke innerhalb der $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ -Punktmenge positionieren, da muss man wohl subtiler vorgehen und andere/weitere Informationen der Punktmenge einbeziehen.

08.06.2020, 18:48

Huggy

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Irgendwo hatte ich schon mal einen Beweis gesehen. Nach heftiger Suche in meinem Bücherschrank bin ich fündig geworden und zwar in dem Buch

Honsberger: Mathematische Edelsteine

auf den Seiten 37 bis 40. Er ist nicht ganz einfach. Bei einer Google-Suche nach dem Buch konnte ich mir diese Seiten problemlos ansehen.

08.06.2020, 22:23

Ulrich Ruhnau

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RE: Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung
[attach]51459[/attach]
Wenn die Strecke AB der größte Abstand in der Punktmenge ist, dann können die anderen Punkte nur noch im Schnittgebiet beider Kreise liegen. Dabei gilt die zusätzliche Einschränkung, daß die Punkte nicht das ganze Schnittgebiet gleichzeitig abdecken können. Wie das Dreieck zu konstruieren ist, kann ich leider nicht für den Allgemeinfall entscheiden.

08.06.2020, 22:36

Elvis

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Dein F heißt bei mir R, und ich habe das Dreieck so weit nach unten gelegt, dass seine linke und rechte Seite den Durchschnitt der Kreise um A und B tangential berühren. Damit sollte der weitere Verlauf der Bearbeitung berechenbar sein, oder nicht.

09.06.2020, 08:04

Ulrich Ruhnau

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RE: Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung
[attach]51466[/attach]
Ich komme jetzt zu einem neuen Ansatz. Der größte Abstand $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ zwischen zwei Punkten kann sich nur in einem Kreisgebiet mit Durchmesser $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ befinden. Dieser Kreis ist der Inkreis des gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge $\begin{eqnarray*} D=\sqrt3 d \end{eqnarray*}$ .

09.06.2020, 08:33

Huggy

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RE: Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Der größte Abstand $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ zwischen zwei Punkten kann sich nur in einem Kreisgebiet mit Durchmesser $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ befinden.[/latex].

Das ist ja so was von falsch! Man betrachte die drei Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ . Der Umkreis dieses Dreiecks hat den Durchmesser

$\begin{eqnarray*} 2R=\frac 2 {\sqrt 3} d >d \end{eqnarray*}$

Das konsequente Ignorieren der Anmerkung von HAL erinnert doch stark an die Bemühungen von mathematischen Laien, simple Lösungen für nicht so einfache Probleme finden. Es ist durchaus möglich, dass es einfachere Beweise gibt als den in dem von mir zitierten Buch. Aber bevor man etwas supersimples postet, sollte man vielleicht erst mal nachdenken.

09.06.2020, 09:45

Ulrich Ruhnau

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RE: Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung

Zitat:

Original von Huggy
Das ist ja so was von falsch! Man betrachte die drei Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ . Der Umkreis dieses Dreiecks hat den Durchmesser

$\begin{eqnarray*} 2R=\frac 2 {\sqrt 3} d >d \end{eqnarray*}$

Hallo Huggy,

da ich auch nur ein Mensch bin, ignoriere ich erst einmal alles, was ich nicht verstehe, so auch HALs Kommentar. Du bist der Meinung, daß Ich etwas falsches geschrieben habe, aber zu meinem Glück fehlte bei mir die naheliegende Bemerkung, alle N Punkte befänden sich im orangen Innkreis. Dann wäre meine Aussage wirklich falsch gewesen.

So kann ich sagen: "Du hast ja durchaus recht mit Deinem Beispiel mit N=3 Punkten die als Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks angeordnet sind." Aber ich kann mir aussuchen, wo ich meine beiden Punkte des maximalen Abstands d gegenüberliegend in dem orangen Innkreis positioniere (durch Verschieben und Drehen der Punktwolke). Der Rest der Punkte muß sich dann nur noch im blauen Dreieck befinden.

Damit habe ich zwar nichts bewiesen, aber dafür Deine Widerlegung widerlegt.
Und vielleicht sind wir der Lösung des Rätsels schon näher gekommen. smile

Zitat:

Original von Huggy
Honsberger: Mathematische Edelsteine

auf den Seiten 37 bis 40. Er ist nicht ganz einfach. Bei einer Google-Suche nach dem Buch konnte ich mir diese Seiten problemlos ansehen.

Ich konnte die Seite nicht finden. Bitte gebe doch mal den Link an!

09.06.2020, 10:06

Leopold

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Ich besitze dieses Büchlein in einer Ausgabe von 1973. Ich könnte die vier Seiten einscannen, bin mir aber nicht sicher, ob ich das hier dann veröffentlichen darf, wenn es sich nur um diesen kleinen Buchauszug handelt.

09.06.2020, 10:23

Huggy

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RE: Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Aber ich kann mir aussuchen, wo ich meine beiden Punkte des maximalen Abstands d gegenüberliegend in dem orangen Innkreis positioniere (durch Verschieben und Drehen der Punktwolke). Der Rest der Punkte muß sich dann nur noch im blauen Dreieck befinden.

Das muss der Rest der Punkte nicht, wie mein Beispiel zeigt. Wenn er es müsste, wäre ja auf diese simple Weise der gesuchte Beweis erbracht.

Zitat:

Ich konnte die Seite nicht finden. Bitte gebe doch mal den Link an!

https://books.google.de/books/about/Math...BAJ&redir_esc=y

Wenn man dann auf das Buchcover klickt, kann man sich anschließend das Buch ansehen. Es werden einem aber nicht immer alle Seiten anezeigt. Manchmal kommt man bei einem zweiten oder dritten Versuch zu den gewünschten Seiten.

09.06.2020, 11:03

Ulrich Ruhnau

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RE: Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung
@Huggy

Leider sind nur die Seiten 1-17 einsehbar.

09.06.2020, 11:10

Huggy

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RE: Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung
Gestern konnte ich die gesuchten Seiten einsehen. Heute ist es mir auch nicht geglückt.

09.06.2020, 11:30

Luftikus

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RE: Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung

Zitat:

Original von Huggy
Gestern konnte ich die gesuchten Seiten einsehen. Heute ist es mir auch nicht geglückt.

Geht das nach dem Zufallsprinzip? Ich kann die Seiten sehen..

https://books.google.de/books?id=VuigBgA...nepage&q&f=true

09.06.2020, 11:50

Ulrich Ruhnau

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RE: Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung

Zitat:

Original von Luftikus
Geht das nach dem Zufallsprinzip? Ich kann die Seiten sehen..

Bist Du sicher, daß Du die Seiten 37-40 einsehen konntest? Ich bin der Meinung, daß nur die Seiten 1-17 einsehbar sind.

09.06.2020, 11:58

Luftikus

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RE: Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau

Zitat:

Original von Luftikus
Geht das nach dem Zufallsprinzip? Ich kann die Seiten sehen..

Bist Du sicher, daß Du die Seiten 37-40 einsehen konntest? Ich bin der Meinung, daß nur die Seiten 1-17 einsehbar sind.

ja, hier
https://books.google.de/books?id=VuigBgA...sproblem&f=true

09.06.2020, 13:17

Huggy

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RE: Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung
Das System von Google ist undurchsichtig. Wahrscheinlich enthält es wirklich Zufallselemente. Gerade habe ich es noch mal getestet. Im Gegensatz zu heute früh, konnte ich diesmal wieder die Seiten 37 -40 sehen, dafür aber die Seiten 26 - 35 nicht. Was solls, ich habe ja das Buch.

09.06.2020, 16:09

Dopap

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Skizziert in etwa so:

1.) man erzeugt der Übersichtlichkeit wegen ein konvexes Polygon der Punktmenge
2.) man klemmt das Polygon zwischen 2 parallele Geraden die automatisch einen Abstand $\begin{eqnarray*} \leq d \end{eqnarray*}$ haben.
3.) man wiederholt das mit einem weiteren Parallelen-Paar mit einem Winkel von $\begin{eqnarray*} 60° \end{eqnarray*}$ zum ersten Paar.
Wieder gilt mit Abstand kleiner $\begin{eqnarray*} \leq d \end{eqnarray*}$
4.) dito
5.) Es entstehen 2 nicht notwendigerweise gleich große gleichseitige Dreiecke
6.) Für einen beliebigen fixen Punkt der Punktmenge sind 3 mal die Summe der 2 Abstands-Abschnitte
innerhalb der Streifen jeweils $\begin{eqnarray*} \leq d \end{eqnarray*}$
7.) Man bringt den Satz von Viviani =
"In einem gleichseitigen Dreieck ist für jeden Punkt des Dreiecks die Summe der Lote auf die Seiten gleich der Höhe des Dreiecks",
ins Spiel.

Steht das auch im Buch so oder so ähnlich?

09.06.2020, 16:25

HAL 9000

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Wieder was gelernt: Dass Aussage 7) einen eigenen Satznamen hat. Augenzwinkern

Ingesamt eine raffinierte Idee: Zwei solch "gegenläufig parallele" gleichseitige Dreiecke zu nehmen (gemeinsam gewissermaßen ein i.a. unsymmetrischer Davidstern), von denen das kleinere dann die Behauptung erfüllt.

09.06.2020, 16:26

Huggy

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Ja, das ist etwas verkürzt der Beweis aus dem Buch.

09.06.2020, 16:58

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wieder was gelernt: Dass Aussage 7) einen eigenen Satznamen hat. Augenzwinkern

Ich konnte mich auch nicht erinnern, das schon einmal gehört zu haben (habe ich aber wahrscheinlich, da ich das Honsberger-Buch in meinem Bücherregal vorfinde). Es ist ja auch nur ein Spezialfall von

$\begin{align*} \frac{d_a}{h_a} + \frac{d_b}{h_b} + \frac{d_c}{h_c} = 1 \end{align*}$

Hierin sind $\begin{align*} h_a,h_b,h_c > 0 \end{align*}$ die Höhen des Dreiecks und $\begin{align*} d_a,d_b,d_c \end{align*}$ die orientierten Abstände des Punktes $\begin{align*} P \end{align*}$ von den Dreiecksseiten $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ . Dabei wird $\begin{align*} d_a \end{align*}$ positiv gemessen, wenn $\begin{align*} P \end{align*}$ auf derselben Seite von $\begin{align*} a \end{align*}$ wie $\begin{align*} A \end{align*}$ liegt, und negativ im andern Fall. Entsprechend mit $\begin{align*} d_b \end{align*}$ und $\begin{align*} d_c \end{align*}$ . Es sind dann

$\begin{align*} p_a = \frac{d_a}{h_a} \, , \ p_b = \frac{d_b}{h_b} \, , \ \ p_c = \frac{d_c}{h_c} \end{align*}$

die baryzentrischen Koordinaten von $\begin{align*} P \end{align*}$ .

09.06.2020, 17:37

Luftikus

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Nur so nebenbei bemerkt:

Viviani war ein Schüler Galileis
Barrow von Viviani
Isaac Newton von Barrow
(Cotes von Newton
Smith von Cotes
Taylor von Smith
Whisson von Taylor
Postlethwaite von Whisson
Jones von Postlethwaite
Sedgwick von Jones
Hopkins von Sedgwick)
James C. Maxwell von Hopkins

09.06.2020, 20:07

Leopold

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Das Interessante ist doch der Schluß von $\begin{align*} h,k>0 \end{align*}$ mit $\begin{align*} h+k \leq 3 \end{align*}$ auf $\begin{align*} h \end{align*}$ oder $\begin{align*} k \leq \frac{3}{2} \end{align*}$ . Das erinnert mich an das Schubfachprinzip.

09.06.2020, 20:19

Ulrich Ruhnau

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RE: Gleichseitiges Dreieck als Einzäunung

Zitat:

Original von Luftikus
Geht das nach dem Zufallsprinzip? Ich kann die Seiten sehen..

https://books.google.de/books?id=VuigBgA...nepage&q&f=true

Ja die Seiten 37-39 konnte ich inzwischen sehen. Nur die Seiten 40,41 haben gefehlt. Daher habe ich nur einen Teil des Beweises sehen können. Aber letztlich basiert er auf unterschiedlichen Seitenansichten der Punkteansammlung. Wenn d der maximale Abstand zweier Punkte ist, dann ist die senkrechte Projektion der Punkte auf eine Gerade nicht breiter als d.
[attach]51478[/attach]
In diesem Bild habe ich drei Punkte, die paarweise den größten Abstand voneinander haben, durch die Eckpunkte eines gleichseitigen gelben Dreiecks (Kantenlänge 1.73) dargestellt. Der grüne, rote und blaue Kreisbogen begrenzen den Bereich, wo dann noch weitere Punkte möglich sind. Diese Gebiete lassen sich durch das große blaue Dreieck (Kantenlänge 2.55) umschreiben.

Das sieht für mich auch noch nicht wie ein Beweis aus. Ich hätte eventuell Lust, zufällige Punktewolken zu generieren mit Punktewolkenabständen kleiner-gleich eins, jede in ein konvexes Polygon einzuschließen und dann zu schauen, welches Polygon die größte Fläche hat.

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