Herleitung Ito's Lemma mit Taylor-Expansion und Brownscher Bewegung

08.06.2020, 19:33	Dobbs	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Ito's Lemma mit Taylor-Expansion und Brownscher Bewegung Meine Frage: Hallo zusammen, ich wollte Ito's Lemma herleiten und bin über eine Formel gestolpert. Der Autor geht von einer geometrischen Brownschen Bewegung aus: $\begin{eqnarray} ln[x(t+\delta t)] - ln[x(t)] = ln[1+\mu \delta t + \sigma \sqrt\delta t \varepsilon _{t}] \end{eqnarray}$ anschließend verwendet er eine Taylor-Expansion 2ten Grades: $\begin{eqnarray} ln[x(t+\delta t)] - ln[x(t)] = \mu \delta t + \sigma \sqrt{\delta t} \varepsilon _{t} - \frac{1}{2}(\mu \sigma \delta t^{3/2} \varepsilon _{t} + \sigma^{2}\delta t \varepsilon^{2}_{t}) + o(\delta t^{2}) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich nehme an, das ln(1+ [...]) verschwindet, da ln(1+x) ~ x wenn x klein ist. Die größere Frage ist, wie der Autor hier die Taylor-Expansion macht. Ich kenne die Taylorreihe, kann aber nicht erkennen, wie sie in diesem Beispiel angewandt wurde. nach welcher Variable wurde hier abgeleitet? Vielen Dank für jeden Hinweis!
08.06.2020, 20:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung Ito's Lemma mit Taylor-Expansion und Brownscher Bewegung $\begin{eqnarray} \ln(1+w)=w-\frac{w^2}{2}+\frac{w^3}{3}-\cdots \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} w=\mu \delta t + \sigma \sqrt\delta t \varepsilon _{t} \end{eqnarray}$

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