Cholesky Zerlegung

Du hast $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ berechnet.

Was du aber bestimmen solltest ist eine linke untere Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} LL^T = A \end{eqnarray*}$ , das ist etwas ganz anderes!

Wenn ihr das Verfahren nicht kennengelernt habt, findest du im Wiki-Artikel die genaue Vorgehensweise - oder auch in dem Link von scholeffski.

09.06.2020, 21:00

Cola33

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Passt die Matrix so?

09.06.2020, 21:03

HAL 9000

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Nein. Und ich werde mich nicht nochmal wiederholen - warum auch, du liest es ja doch nicht.

09.06.2020, 21:07

Cola33

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Hi nochmal ,
diese Formeln hier verstehe ich .
Meinst du das ich die Formeln anwenden soll?
Mich verwirrt gerade ,dass ich gar keine Nullen in der Matrix habe?
Daher habe ich dort die Nullen gesetzt?

Ist mein l11 einfach die Wurzel aus 4 = 2 ?

09.06.2020, 23:17

scholeffski

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Zitat:

diese Formeln hier verstehe ich .

Na dann wende sie halt an.
Du brauchst bei einer gegebenen 3x3-Matrix nur 6 Einträge bestimmen, da die restlichen 3 oberhalb der Hauptdiagonalen sowieso Null sind (siehe in meinem geposteten Link).

10.06.2020, 00:08

Cola33

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Soll ich die Matrix wie oben mit Nullen füllen ?
Und einfach mit Formel berechnen ?

10.06.2020, 00:36

scholeffski

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MACH es doch einfach mal und frage nicht vorher noch 50 mal nach. Wink

10.06.2020, 11:50

HAL 9000

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Das "Nullenfüllen" in $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ erfolgt rechts oberhalb der Hauptdiagonale - das betrifft im vorliegenden Fall dann noch genau drei Positionen - das zumindest hatte oben bei dir gestimmt, ja.

Zitat:

Original von Cola33
Ist mein l11 einfach die Wurzel aus 4 = 2 ?

JA!!!

Damit kannst du mit den nächsten beiden Zeilen in deinem Scan auch sofort $\begin{eqnarray*} l_{21} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} l_{31} \end{eqnarray*}$ ausrechnen und hast dann schon drei von sechs zu berechnenden Werten, der Rest ergibt sich mit den letzten drei Zeilen - da kann ich nur scholeffski beipflichten: Mach es doch einfach!

14.06.2020, 10:36

KonverDiv

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Wenn ich die Cholesky Zerlegung durchführe erhalte ich folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} L = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Rechenschritte sind: (siehe auch Beitrag von scholeffski)

$\begin{eqnarray*} l_{1,1}^2 = 4, l_{1,1} = \sqrt{4} = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l_{1,1}\cdot l_{2,1} = 2, \quad l_{2,1} = \frac{2}{2} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l_{1,1}\cdot l_{3,1} = 6, \quad l_{3,1} = \frac{6}{l_{1,1}} = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l_{2,1}^2 + l_{2,2}^2 = 17,\quad l_{2,2}=\sqrt{17-l_{2,1}^2} = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l_{2,1}\cdot l_{3,1} + l_{2,2}\cdot l_{3,2} = 23,\quad l_{3,2}=\frac{23-l_{3,1}\cdot l_{2,1}}{l_{2,2}}=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} l_{3,3} = \sqrt{83-(l_{3,1}^2+l_{3,2}^2)} = 7 \end{eqnarray*}$

Probe:

$\begin{eqnarray*} L\cdot L^T = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 2 & 6 \\ 2 & 17 & 23 \\ 6 & 23 & 83 \end{pmatrix} = A \end{eqnarray*}$

14.06.2020, 10:59

HAL 9000

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Ja, klappt doch! Freude