Ausklammern

09.06.2020, 09:00

DJ666

Ausklammern

Meine Frage:
Hallo,

es soll folgender Term ausgeklammert werden: x*x+2*x-15

Ich habe auch die Lösung dazu aber ich verstehe einen Teil davon nicht.

Meine Ideen:
Die vorgegebene Lösung im 1. Schritt

x*x+2*x-15 = x*x-3*x+5*x-5*3

Ich denke die 15 wurde in Primafaktoren 3 und 5 zerlegt. Allerdings verstehe ich nicht wieso man dies in dem Fall macht. Das wäre meine 1. Frage.

2. Frage

Auszug aus obigen Term

2*x daraus wurde offensichtlich -3*x+5*x. Augenscheinlich ist -3+5=2 aber ich wäre nicht auf diese Lösung gekommen.

Vielleicht kann mir den Weg jemand erklären und Licht in die Dunkelheit meines Gehirnes bringen.

+2*x

09.06.2020, 09:10

HAL 9000

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Der Weg ist der: Löse die quadratische Gleichung, denn mit deren Lösungen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ bekommst du die Linearfaktorisierung $\begin{eqnarray*} x^2+2x-15 = (x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray*}$ .

Mit welcher Methode genau du diese quadratische Gleichung löst, d.h. pq-Formel, quadratische Ergänzung oder was auch immer, bleibt dir überlassen.

Zitat:

Original von DJ666
aber ich wäre nicht auf diese Lösung gekommen.

Musst du ja auch nicht, solange es andere klar strukturierte Wege gibt (s.o.). Das lange Starren und Verharren auf bestimmte Lösungswege kann anscheinend auch schädlich sein.

09.06.2020, 09:12

G090220

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RE: Ausklammern
Damit du dann ausklammern kannst:

$\begin{eqnarray*} x^2-3x+5x-5 = x(x-3)+5(x-3) \end{eqnarray*}$

Klammere jetzr x-3 aus!

PS:
Viel schneller ginge es mit dem Satz von Vieta, den man anscheinend kaum noch benutzt:

x^2-2x-15 = (x-3)(x+2)

09.06.2020, 10:49

mYthos

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RE: Ausklammern
Da stimmt einiges nicht! Rot = Korrektur

Zitat:

Original von G090220
Damit du dann ausklammern kannst:

$\begin{eqnarray*} x^2-3x+5x-\color{red}15 \color{black}= x(x-3)+5(x-3) \end{eqnarray*}$

Klammere jetzr x-3 aus!

PS:
Viel schneller ginge es mit dem Satz von Vieta, den man anscheinend kaum noch benutzt:

x^2+2x-15 = (x-3)(x+5)

09.06.2020, 11:11

DJ666

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Ok ich bin schon ein Stück weiter gekommen. Vielen Dank erstmal dafür. Allerdings noch nicht ganz erhellt. Sorry ich würde gern den Lösungsweg verstehen.

Durch die pq-Formel konnte ich x1= -3 und x2 = 5 nachvollziehen. Soweit so gut.

Wie würde ich das in den Ausgangsterm einsetzen? Und lag ich richtig in der Annahme die 15 wurde in Primfaktoren zerlegt? Ich habe irgendwie einen Knoten im Hirn. Sorry

x*x+2*x-15 bzw. x²+2x-15

09.06.2020, 11:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von DJ666
Durch die pq-Formel konnte ich x1= -3 und x2 = 5 nachvollziehen.

Nein, da hast du einen Vorzeichenfehler drin: Es sind die Lösungen +3 und -5.

Zitat:

Original von DJ666
Wie würde ich das in den Ausgangsterm einsetzen?

Na wie erwähnt: $\begin{eqnarray*} (x-x_1)(x-x_2) = (x-3)(x-(-5)) = (x-3)(x+5) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von DJ666
Und lag ich richtig in der Annahme die 15 wurde in Primfaktoren zerlegt?

Sagen wir es so: Falls es eine Zerlegung $\begin{eqnarray*} x^2+px+q = (x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray*}$ mit GANZZAHLIGEN $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ gibt, dann ist ja (siehe Vieta) $\begin{eqnarray*} x_1x_2 = q \end{eqnarray*}$ und die Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ setzt sich aus den beiden Primfaktorzerlegungen von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ zusammen. Über die Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ durch Ausprobieren aller Fälle an $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ zu kommen, ist aber nicht immer ein empfehlenswerter Weg, bei $\begin{eqnarray*} x^2-30x+216 \end{eqnarray*}$ kann man sich der vielen Fälle wegen da einen Wolf rechnen...

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