Tangens von Hälfte

09.06.2020, 09:31

punktlandung3

Tangens von Hälfte

Meine Frage:
Hallo vielleicht kennt sich damit jemand aus,

ich bin durch Zufall auf diese Gleichung gestoßen und es stellt sich heraus, dass immer(?) tan(x/2) herauskommt!

$\begin{eqnarray*} \tan(\frac{x}{2})= \frac{a*\sin(x)+b*\cos(x)-b}{a*\cos(x)-b*\sin(x)+a} \end{eqnarray*}$

Einen Beweis habe ich aber nicht, ist das jetzt eine seltene Formel, die nicht im Tafelwerk steht, und/oder kann das EINFACH hergeleitet werden?

Danke im Voraus und viele Grüße

Meine Ideen:
Als erstes habe ich das halbe x umgekehrt zu 2x und es dann mit sin(2x), cos(2x) versucht, sodass es hoffentlich ein (a-b)² ergibt, aber das passt beim Vorzeichen dann nicht zusammen?

09.06.2020, 10:10

klarsoweit

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RE: Tangens von Hälfte
Im Moment verstehe ich nicht, welche Rollen die Parameter a und b spielen sollen. Mir erscheint es als sehr unwahrscheinlich, daß das für alle a und b gelten soll. verwirrt

09.06.2020, 10:19

HAL 9000

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Folgt aus $\begin{eqnarray*} \cos(x)-1 = -\sin(x)\tan\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \cos(x)+1 = \sin(x)\cot\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\neq k\pi \end{eqnarray*}$ .

Natürlich muss man die Fälle ausschließen, wo der Nenner gleich Null ist bzw. der Tangens nicht definiert ist. Mit anderen Worten, die umgeschriebene Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \left(a\cos(x)-b\sin(x)+a\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \left(a\sin(x)+b\cos(x)-b\right) \end{eqnarray*}$

gilt tatsächlich für alle $\begin{eqnarray*} a,b,x \end{eqnarray*}$ : Mit den Abkürzungen $\begin{eqnarray*} c=\cos\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s=\sin\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$ folgt aus den Doppelwinkelformeln für Sinus und Kosinus sowie $\begin{eqnarray*} c^2+s^2=1 \end{eqnarray*}$ nämlich

$\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \left(a\cos(x)-b\sin(x)+a\right) = s(a(c^2-s^2) - 2bcs + a(c^2+s^2)) = s(2ac^2-2bcs) = 2cs(ac - bs) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \left(a\sin(x)+b\cos(x)-b\right) = c(2acs+b(c^2-s^2)-b(c^2+s^2)) = c(2acs-2bs^2) = 2cs(ac-bs) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. tatsächlich Gleichheit.

09.06.2020, 14:01

klarsoweit

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RE: Tangens von Hälfte
Potzblitz, da habe ich mich aber ganz schön reinlegen lassen. traurig

09.06.2020, 15:15

HAL 9000

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Ja, ist irgendwie eine geschickt getarnte "Mixtur" der beiden Tangens-Darstellungen $\begin{eqnarray*} \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin(x)}{1+\cos(x)} \end{eqnarray*}$ . smile

13.06.2020, 10:30

punktlandung3

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ja, ist irgendwie eine geschickt getarnte "Mixtur" der beiden Tangens-Darstellungen

O.k., die Version oben ist ausgeschrieben schon ein ganzes Stück Formel!
Und ein wenig wie vermutet, ich kannte nur die erste der Tangens-Halbens-Formeln.
Mathe ist doch nicht alles Beschwörungskreis, auch wenn es toll wäre Tanzen

@klarsoweit jetzt muss nur geprüft werden ob HAL9000 nicht geschummelt hat :]

13.06.2020, 14:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von punktlandung3
jetzt muss nur geprüft werden ob HAL9000 nicht geschummelt hat

Zu lange ohne Kopfbedeckung in der Sonne gesessen? smile

02.07.2020, 07:42

punktlandung3

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... nach eingehender Prüfung ist festzustellen,

ja, und nein, besten Dank, es gibt nichts zu beanstanden an der Auflösung, sofern ich das bestätigen kann. Aber Moment,
wie beweist jemand die Richtigkeit eines Beweises anstelle Fehler zu wiederholen? Habt Vertrauen und glaubt mir in der Sache.

Frage ist dann ein Glück beantwortet, bekommt Board TÜV und ein Bienchen.

02.07.2020, 08:03

HAL 9000

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18 Tage geprüft und dann immer noch Bemerkungen in einem Stil abgefasst, der an der Zurechnungsfähigkeit zweifeln lässt. Definitiv ein Sonnenstich, und zwar einer der schlimmeren Sorte. Gute Besserung!

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Tangens von Hälfte

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