Asymptotik bei Doppelpol

09.06.2020, 20:25	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Asymptotik bei Doppelpol Liebes Forum, ich habe eine Frage zur Asymptotik, die - wie ich nach Internetrecherche glaube - durch spezielle Transfer-Theoreme beantwortet werden kann. Ich habe letztere aber nirgends explizit gefunden, daher würde ich gerne eure Gedanken dazu lesen: Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray} \delta(z) = \frac{(1-(1-p)z)pzr(z)}{(1-z)^2} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} r(z) \end{eqnarray}$ eine Funktion ist, die für $\begin{eqnarray} \|z\| < (1-p)^{-1} \end{eqnarray}$ analytisch ist. (für den Fall, dass es wichtig ist: $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ ist die Ableitung einer bivariaten markierenden erzeugenden Funktion an der Stelle 1, also $\begin{eqnarray} \delta(z) = \frac{\partial A(z;v)}{\partial v}\|_{v = 1} \end{eqnarray}$ Nun ist die Aussage, dass deshalb "das asymptotische Verhalten des Koeffizienten $\begin{eqnarray} \delta_n \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \delta(z) \end{eqnarray}$ gänzlich durch das Verhalten von $\begin{eqnarray} \delta(z) \end{eqnarray}$ an der Doppelpolstelle $\begin{eqnarray} z = 1 \end{eqnarray}$ bestimmt ist: Wenn $\begin{eqnarray} \delta(z)\sim c(1-z)^{-2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z \rightarrow 1 \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} \delta_n \sim c n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ ". Wieso gilt das? Dasselbe noch einmal ganz ähnlich: seien A(z;v), B(z;v) bivariate markierende erzeugende Funktionen, wobei B(z;v) analytisch ist für $\begin{eqnarray} \|z\| \leq 1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f = \text{lim}_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}[z^n]\frac{\partial A(z;v)}{\partial v}\|_{v = 1} \end{eqnarray}$ Wieso gilt dann "unter Beachtung der Doppelpolstelle z = 1, $\begin{eqnarray} f = \text{lim}_{z \rightarrow 1}(1-z)^2A_v'(z;1) = p^2B_v'(1;1) \end{eqnarray}$ "?

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