Beweis mithilfe von einem Eigenwert

10.06.2020, 12:10	Dansi	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mithilfe von einem Eigenwert Meine Frage: Ich bereite mich gerade auf eine Prüfung Vor und bin auf folgendes Beispiel einer Altklausur gestoßen und schaffe es nicht den folgenden Beweis zu finden. Sei das LTI-System $\begin{eqnarray} \mathcal{H} \end{eqnarray}$ gegeben als Systemmatrix $\begin{eqnarray} \mathbf{H} \in \mathbb{R}^{N\times N} \end{eqnarray}$ , sodass die Matrix-Vektor Multiplikation $\begin{eqnarray} \mathbf{y}=\mathbf{Hx} \end{eqnarray}$ mit Eingang $\begin{eqnarray} \mathbf{x} = \left[x\left[0\right],..., x\left[N-1\right]\right]^{T} \end{eqnarray}$ und Ausgang $\begin{eqnarray} \mathbf{y} = \left[y\left[0\right],..., y\left[N-1\right]\right]^{T} \end{eqnarray}$ einer zyklischen Faltung $\begin{eqnarray} \left\langle y[n] \right\rangle = \left\langle (h x )[n]\right\rangle \end{eqnarray}$ entspricht. Sei $\begin{eqnarray} \mathbf{He}_{k} =\mathbf{\lambda}_{k}\mathbf{e}_{k} \end{eqnarray}$ mit Eigenvektor $\begin{eqnarray} \mathbf{e}_\mathrm{k} = [e_\mathrm{k}[0],..., e_\mathrm{k}[N-1]]^{T} \in \mathbb{C}^{N} \end{eqnarray}$ , Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda_{k} \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left\langle e_{k}[n]\right\rangle = \left\langle z_{k}^{n}\frac{1}{\sqrt{N}} , z_{k}= e^{j2\pi k /N}\right\rangle \end{eqnarray}$ Ich soll nun beweisen: Angenommen, $\begin{eqnarray} \mathbf{x} = \sum^{N}_{k=1} \overline{x}_k \mathbf{e}_{k} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbf{y} = \sum^{N}_{k=1}\overline{y}_k \mathbf{e}_{k} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie $\begin{eqnarray} \overline{y}_{k} = \lambda_{k} \overline{x}_k \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Mir fehlt wenn ich ehrlich bin dafür jeglicher Ansatz könnte mir vielleicht jemand weiterhelfen?

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