Definitionsmenge einer Wurzelgleichung

10.06.2020, 15:49

Frederiiick

Definitionsmenge einer Wurzelgleichung

Meine Frage:
Guten Tag, ich habe diese Wurzelgleichung gefunden: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2x^{2}-7 }= x+1 \end{eqnarray*}$ . Ich frage mich jedoch was nun ob Definitionsbereich dieser Wurzelgleichung richtig ist ist.

Meine Ideen:
Wenn ich die Wurzel auflöse und als Ungleichung aufstelle komme ich auf
$\begin{eqnarray*} 2x^{2}-7\geq 0 \end{eqnarray*}$ nach x aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} x\geq \sqrt{\frac{7}{2} } \end{eqnarray*}$
so komme ich auf die Definitionsmenge: $\begin{eqnarray*} Df={x\in \mathbb R| x\geq \sqrt{\frac{7}{2} } } \end{eqnarray*}$
Ist es so richtig oder habe ich einen Fehler?

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

10.06.2020, 16:01

klarsoweit

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RE: Definitionsmenge einer Wurzelgleichung
In der Tat ist das falsch, denn wie man leicht sieht, ist beispielsweise auch x = -2 in der Definitionsmenge. Der Fehler liegt einfach beim Wurzelziehen. Das ist und bleibt nun mal keine Äquivalenzumformung. Was geht, ist dies:

$\begin{eqnarray*} 2x^2 - 7 \geq 0 \Leftrightarrow (x + \sqrt{\frac 7 2}) \cdot (x - \sqrt{\frac 7 2}) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Nun kannst du dir überlegen, wann ein Produkt größer oder gleich Null ist. smile

10.06.2020, 16:19

relaxer

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Zitat:

...Wurzelziehen. Das ist und bleibt nun mal keine Äquivalenzumformung.

Ich dachte eher Quadrieren ist im Allgemeinen keine Äquivalenzumformung.
Wenn ich eine Quadratwurzel gezogen habe, dann komme ich doch problemlos wieder durch Quadrieren zurück.

Bei quadratischen Termen unter der Quadratwurzel kann es zudem auch hilfreich sein, wenn man sich vor dem geistigen Auge oder mit einer Skizze klar macht, in welchen Bereichen die entsprechende Parabel oberhalb der x-Achse verläuft.

10.06.2020, 17:34

Frederiiick

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RE: Definitionsmenge einer Wurzelgleichung
Erst einmal vielen Dank für die Rückmeldung und für den Hinweis. Nun habe ich auch gemerkt dass die Zahlen unterhalb von $\begin{eqnarray*} - \sqrt{\frac{7}{2} } \end{eqnarray*}$ auch im Definitionsbereich liegen, sprich nur die Zahlen im Bereich zwischen $\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{7}{2} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{7}{2} } \end{eqnarray*}$ liegen außerhalb davon. Doch wie gebe ich dies nun an da ich ja nicht einfach sagen kann
$\begin{eqnarray*} Df = {x\in \mathbb R | -\sqrt{\frac{7}{2} } \leq x \geq \sqrt{\frac{7}{2} } } \end{eqnarray*}$

Meine Idee wäre nun : $\begin{eqnarray*} Df = x\in \mathbb R |- \sqrt{\frac{7}{2} }\leq x \cup x\geq \sqrt{\frac{7}{2} } \end{eqnarray*}$

Ich hoffe die Frage ist nicht zu Doof verwirrt

mfg. Frederick

10.06.2020, 20:55

klauss

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RE: Definitionsmenge einer Wurzelgleichung
Äquivalenzumformung hin oder her. Das Entscheidende ist hier, dass wir es mit einer Ungleichung zu tun haben, deren Lösungen i. d. R. Intervalle und nicht Einzelwerte sind. Daher ist noch mehr als bei Gleichungen der Einsatz von Betragsstrichen beim Wurzelziehen aus quadrierten Variablen zu beachten.
Könnte man bei
$\begin{eqnarray*} x^{2}\textcolor{red}{=}\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$
die ungeliebten Betragsstriche noch mittels
$\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{\frac{7}{2} } \end{eqnarray*}$
umgehen, kommt man bei
$\begin{eqnarray*} x^{2}\textcolor{red}{\geq}\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$
kaum an
$\begin{eqnarray*} |x|\geq \sqrt{\frac{7}{2}} \end{eqnarray*}$
vorbei.
Daraus folgt dann
$\begin{eqnarray*} D= \left\{ x\in \mathbb R | \left(x\leq -\sqrt{\frac{7}{2} } \right) \vee \left(x\geq \sqrt{\frac{7}{2} } \right) \right\} \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} D=\left]-\infty ;-\sqrt{\frac{7}{2} } \right] \cup \left[\sqrt{\frac{7}{2} };\infty \right[ \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} D=\mathbb R \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} \left]-\sqrt{\frac{7}{2} };\sqrt{\frac{7}{2} } \right[ \end{eqnarray*}$

10.06.2020, 21:03

Dopap

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RE: Definitionsmenge einer Wurzelgleichung

Zitat:

Original von Frederiiick

Meine Idee wäre nun : $\begin{eqnarray*} Df = x\in \mathbb R |- \sqrt{\frac{7}{2} }\leq x \cup x\geq \sqrt{\frac{7}{2} } \end{eqnarray*}$

Die Schreibfigur gefällt mir nicht und wäre auch falsch..

1.) die Grundmenge muss nicht stets erwähnt werden
2.) Un- Gleichungen nicht mit Mengensymbolen verknüpfen, wenn schon dann mit logischen Symbolen wie $\begin{eqnarray*} \land, \lor, \lnot \end{eqnarray*}$ etc.
3.) wenn schon, dann immer Ungleichungsketten schreiben nicht $\begin{eqnarray*} -3<x>5 \end{eqnarray*}$ was kein Intervall ist

$\begin{eqnarray*} \mathbb D= (-\infty,-\sqrt{3.5}]\, \cup \, [\sqrt{3.5} , \infty) \end{eqnarray*}$

wenn schon mit x dann etwa so:

$\begin{eqnarray*} \mathbb D=\{x\,|\, x\leq -\sqrt{3.5}\,\, \lor \,\, x \geq \sqrt{3.5} \end{eqnarray*}$

P.S. bei Gleichungen sind Wurzelziehen und Quadrieren keine Äquivalenzumformungen da beide die Lösungsmenge verändern.
Und nicht "argumentieren" :
wenn ich die Wurzel gezogen habe komme ich mit Quadrieren wieder zurück

P.S.2 Definitionsmengen sind keine Aufgabe sondern wie das Wort sagt definiert, aber man kann nach der maximalen Definitionsmenge fragen. Wenn schon ein Zusatz zu $\begin{eqnarray*} \mathbb D \end{eqnarray*}$ dann könnte man oben $\begin{eqnarray*} \mathbb D_{\rm max} \end{eqnarray*}$ schreiben

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